Ņūtona binoms

Vikipēdijas raksts
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt
Paskāla trijstrūris sastāv no binomiālkoeficientiem, kas tiek izmantoti Ņūtona binomā

Ņūtona binoms elementārajā algebrā ir binoma x+y izvirzījums n-tajā pakāpē:

(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k},

kur  \tbinom nk ir binomiālkoeficienti un n ir naturāls skaitlis. Ņūtona binomu var arī uzrakstīt kā izvirzījumu:

(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n.

Saskaņā ar Ņūtona binomu, ir iespējams (x + y)n pārvērst summā, kura sastāv no atsevišķiem locekļiem formā axbyc, kur b un c ir nenegatīvi skaitļi (jāizpildās vienādībai b + c = n), savukārt koeficients a ir pozitīvs skaitlis, kas atkarīgs no n un b. Binomiālkoeficienti tiek ņemti no Paskāla trijstūra.

Šī ir viena no kombinatorikas un polinomu algebras pamatformulām. Pirmie to sāka lietot arābu matemātiķi 11. gadsimtā.[1]

Ņūtona binoma izvirzījumi[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Šeit ir uzskaitīti Ņūtona binoma izvirzījumi līdz n = 7.


\begin{align}
(x+y)^2 & = x^2 + 2xy + y^2, \\[8pt]
(x+y)^3 & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\[8pt]
(x+y)^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt]
(x+y)^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\[8pt]
(x+y)^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt]
(x+y)^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7.
\end{align}

Skatīt arī[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Atsauces[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ārējās saites[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]