Būla algebra

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Matemātikā un matemātiskajā loģikā Būla algebra ir algebras apakšnozare, kurā mainīgo vērtības ir patiesumvērtības patiess un nepatiess, ko parasti atzīmē attiecīgi ar 1 un 0. Atšķirībā no elementārās algebras, kur mainīgo vērtības ir skaitļi un galvenās operācijas ir saskaitīšana un reizināšana, Būla algebrā galvenās operācijas ir konjunkcija un, ko apzīmē ar ∧, disjunkcija vai, ko apzīmē ar ∨, un negācija, ko apzīmē ar ¬.

Būla algebru 1854. gadā ieviesa Džordžs Būls savā grāmatā An Investigation of the Laws of Thought.[1] Saskaņā ar E. V. Hantingtonu, termins "Būla algebra" pirmoreiz tika ieteikts 1913. gadā, kad to lietoja Henrijs Šefers.[2]

Būla algebrai ir bijusi ārkārtīgi liela nozīme datorzinātnes un digitālās loģikas attīstībā. To izmanto arī kopu teorijā un statistikā.[3]

Operācijas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pamatoperācijas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Būla algebras pamatoperācijas ir šādas:

  • un (konjunkcija), apzīmēta xy (reizēm x AND y vai Kxy), apmierina xy = 1, ja x = y = 1 un xy = 0 citos gadījumos.
  • vai (disjunkcija), apzīmēta xy (reizēm x OR y vai Axy), apmierina xy = 0, ja x = y = 0 un xy = 1 citos gadījumos.
  • ne (negācija), apzīmēta ¬x (reizēm NOT x, Nx vai !x), apmierina ¬x = 0, ja x = 1 un ¬x = 1, ja x = 0.

Ja patiesības vērtības 0 un 1 interpretē kā veselus skaitļus, šīs darbības var izteikt ar parastajiem aritmētikas darbību operatoriem:

xy = xy,
xy = x + y - xy,
¬x = 1 - x.

Alternatīvi xy, xy un ¬x vērtības var izteikt ar patiesumvērtību tabulu palīdzību šādi.

1. attēls. Patiesumvērtību tabulas
x y xy xy
0 0 0 0
1 0 0 1
0 1 0 1
1 1 1 1
x ¬x
0 1
1 0

Var pieņemt, ka tikai negācija un viena no divām operācijām ir pamatoperācija, jo šīs vienādības ļauj definēt konjunkciju kā atkarību no negācijas un disjunkcijas un otrādi:

xy = ¬(¬x ∨ ¬y)
xy = ¬(¬x ∧ ¬y)

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Būls, Džordžs  (2003 ) [1854 ]. An Investigation of the Laws of Thought . Prometheus Books . ISBN 978-1-59102-089-9.
  2. piezīme 278. lpp.: "* The name Boolean algebra (or Boolean "algebras") for the calculus originated by Boole, extended by Schröder, and perfected by Whitehead seems to have been first suggested by Sheffer, in 1913" quoted from E. V. Huntington January 1933, "NEW SETS OF INDEPENDENT POSTULATES FOR THE ALGEBRA OF LOGIC, WITH SPECIAL REFERENCE TO WHITEHEAD AND RUSSELL'S PRINCIPIA MATHEMATICA", http://www.ams.org/journals/tran/1933-035-01/S0002-9947-1933-1501684-X/S0002-9947-1933-1501684-X.pdf
  3. Givant, Steven un Halmos, Paul (2009). Introduction to Boolean Algebras. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. ISBN 978-0-387-40293-2.

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]