Faktoriāls

Vikipēdijas raksts

Pārlēkt uz: navigācija, meklēt
n n!
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3628800
11 39916800
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120

Matemātikā par vesela skaitļa n ≥ 0 faktoriālu sauc visu veselo skaitļu no 1 līdz n reizinājumu. To apzīmē ar n!. Piemēram, 3! = 1 · 2 · 3 = 6 un 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Satura rādītājs

[izmainīt šo sadaļu] Definīcija

Vesela skaitļa n ≥ 0 faktoriālu definē šādi:

n! = \prod_{i=1}^n i = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n,

kur simbols "Π" (lielais grieķu burts pī) apzīmē reizinājumu līdzīgi kā "Σ" apzīmē summu.

Matemātikā ir pieņemts, ka tukšais reizinājums jeb reizinājums, kurā neietilpst neviens skaitlis, ir vienāds ar 1, tāpēc

0! = 1. \,

Šī vienošanās nodrošina to, ka formulas, kurās ietilpst faktoriāls, ir spēkā arī robežgadījumos, kad jāaprēķina 0!. Piemēram, binomiālais koeficients \tbinom{n}{n} = \tfrac{n!}{n!(n-n)!} = \tfrac{1}{0!} = 1, jo n elementus no n elementiem var izvēlēties tieši vienā veidā.

Faktoriālu var definēt arī rekursīvi:

n! = \begin{cases} 1, & \text{ ja } n = 0; \\ n \cdot (n-1)!, & \text{ ja } n > 0. \end{cases}

Piemēram, pēc šīs definīcijas 3! = 3 · 2! = 3 · 2 · 1! = 3 · 2 · 1 · 0! = 3 · 2 · 1 · 1 = 6. Šai definīcijai var saskatīt līdzību ar matemātisko indukciju: pirmais gadījums n = 0 atbilst indukcijas bāzei, bet otrais gadījums n > 0 atbilst induktīvajai pārejai.

Faktoriāls ir viena no visvienkāršākajām rekursīvi definējamajām funkcijām, tāpēc to bieži izmanto kā piemēru mācot rekursiju programmēšanā. Programmēšanas valodā C funkciju, kas aprēķina faktoriālu, var definēt šādi:[1]

int factorial(int n)
{
  if (n == 0)
    return 1;
  else
    return n * factorial(n - 1);
}

[izmainīt šo sadaļu] Īpašības

[izmainīt šo sadaļu] Saistība ar Gamma funkciju

Gamma funkcija (apzīmē ar "Γ" jeb lielo grieķu burtu gamma) ir faktoriāla vispārinājums, jo tā ir definēta jebkuram kompleksam skaitlim, izņemot negatīvus veselus skaitļus. Kompleksam skaitlim z, kura reālā daļa ir pozitīva, to definē šādi:

\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,dt.

Ar analītiskā turpinājuma palīdzību šo definīciju var paplašināt priekš visiem kompleksiem skaitļiem, izņemot negatīvus veselus skaitļus. Izmantojot šo definīciju un integrāļu īpašības, var pierādīt, ka

\Gamma(n + 1) = n!, \,   ja n = 0, 1, 2, …

Izmantojot gamma funkciju, faktoriālu var aprēķināt, piemēram, skaitļiem formā n + 1 / 2, kur n = 0, 1, 2, …:

\left( n + \frac{1}{2} \right)! = \sqrt{\pi} \prod_{k=0}^n \frac{2k + 1}{2}.

Piemēram,

3{,}5! = \sqrt{\pi} \cdot {1 \over 2} \cdot {3 \over 2} \cdot {5 \over 2} \cdot {7 \over 2} \approx 11{,}63.

[izmainīt šo sadaļu] Stirlinga formula

Lai aprēķinātu faktoriālu lielam skaitlim, ir jāveic ļoti daudz reizināšanas darbību. Bieži vien (piemēram, datorzinatnē, lai novērtētu algoritma sarežģītību), nav nepieciešams zināt precīzu faktoriāla vērtību, bet pietiek ar aptuvenu tā novērtējumu. Šādos gadījumos lieti noder faktoriāla asimptotiskais novērtējums jeb Stirlinga formula:

n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n,

kur π un e ir konstantes pī un e.

[izmainīt šo sadaļu] Sadalījums pirmreizinātājos

Jebkurš pirmskaitlis p ietilpst skaitļa n! sadalījumā pirmreizinātājos

\left\lfloor \frac{n}{p } \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \right\rfloor + \ldots

reižu, kur \lfloor \cdot \rfloor apzīmē noapaļošanu uz leju. Ja šo formulu pielieto priekš p = 2 un p = 5, tad var noteikt, ar cik nullēm beidzas n!. No šīs formulas izriet arī tas, ka

n! = \prod_{p} p^{\lfloor n/p \rfloor + \lfloor n/p^2 \rfloor + \lfloor n/p^3 \rfloor + \ldots},

kur reizinājums ir pār visiem pirmskaitļiem p.

[izmainīt šo sadaļu] Pielietojums

Faktoriāli ir bieži sastopami kombinatorikā, varbūtību teorijā, skaitļu teorijā un grafu teorijā.

[izmainīt šo sadaļu] Skatīt arī

[izmainīt šo sadaļu] Piezīmes

  1. ↑ Šī funkcija nebeidz darbu, ja tai padotais arguments ir negatīvs. Lai no tā izvairītos, n == 0 var aizstāt ar n <= 0, taču tas nav darīts, lai saglabātu līdzību ar matemātisko definīciju.

[izmainīt šo sadaļu] Ārējās saites


E-to-the-i-pi.svg

  Šis ar matemātiku saistītais raksts ir nepilnīgs. Jūs varat dot savu ieguldījumu Vikipēdijā, papildinot to.
Saturs iegūts no "http://lv.wikipedia.org/wiki/Faktori%C4%81ls"