Gella-Manna matricas

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Gella-Manna matricas ir Pauli matricu vispārinājums 3 × 3 matricām. Tās ir nosauktas par godu amerikāņu fiziķim Marijam Gellam-Mannam, kurš tās izmantoja, lai aprakstītu stiprajai mijiedarbībai piemītošo simetriju.[1] Tās tiek izmantotas, lai aprakstītu kvarku modeli.[2] Mazāk tās tiek izmantotas kvantu hromodinamikā. Kvantu skaitļošanā tās tiek lietotas, lai aprakstītu kutritu jeb trīs līmeņu kvantu sistēmu.

Gella-Manna matricas ir šādas:


\begin{align}
  \lambda_1 &= \begin{pmatrix} 0 &  1 &  0 \\ 1 &  0 &  0 \\ 0 & 0 &  0 \end{pmatrix} &
  \lambda_2 &= \begin{pmatrix} 0 & -i &  0 \\ i &  0 &  0 \\ 0 & 0 &  0 \end{pmatrix} &
  \lambda_3 &= \begin{pmatrix} 1 &  0 &  0 \\ 0 & -1 &  0 \\ 0 & 0 &  0 \end{pmatrix} \\
  \lambda_4 &= \begin{pmatrix} 0 &  0 &  1 \\ 0 &  0 &  0 \\ 1 & 0 &  0 \end{pmatrix} &
  \lambda_5 &= \begin{pmatrix} 0 &  0 & -i \\ 0 &  0 &  0 \\ i & 0 &  0 \end{pmatrix} \\
  \lambda_6 &= \begin{pmatrix} 0 &  0 &  0 \\ 0 &  0 &  1 \\ 0 & 1 &  0 \end{pmatrix} &
  \lambda_7 &= \begin{pmatrix} 0 &  0 &  0 \\ 0 &  0 & -i \\ 0 & i &  0 \end{pmatrix} &
  \lambda_8 &= \frac{1}{\sqrt{3}}
               \begin{pmatrix} 1 &  0 &  0 \\ 0 &  1 &  0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}
\end{align}

Pirmajā, otrajā un trešajā kolonnā esošās matricas atgādina attiecīgi Pauli X, Y un Z matricas.

Īpašības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Algebriskās īpašības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Gella-Manna matricu algebriskās īpašības ir uzskaitītas zemāk dotajā tabulā.

Īpašība Matemātiskais pieraksts
Ermita \lambda_i^\dagger = \lambda_i
nulles pēda \operatorname{Tr}(\lambda_i) = 0

Atšķirība no Pauli matricām, Gella-Manna matricas nav unitāras.

Bāze[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Gella-Manna matricas veido maksimālu lineāri neatkarīgu (gan pār reālajiem, gan kompleksajiem skaitļiem) 3 × 3 Ermita matricu kopu jeb bāzi. Tas nozīmē, ka

  • jebkuru 3 × 3 Ermita matricu var viennozīmīgi izteikt kā lineāru kombināciju ar reāliem koeficientiem no Gella-Manna matricām;
  • jebkuru 3 × 3 kompleksu matricu var viennozīmīgi izteikt kā lineāru kombināciju ar kompleksiem koeficientiem no Gella-Manna matricām.

Gella-Manna matricu veidotā bāze ir ortogonāla attiecībā pret Hilberta-Šmita skalāro reizinājumu \langle A, B \rangle = \operatorname{Tr}(A^\dagger B):


  \operatorname{Tr}(\lambda_j^\dagger \lambda_k) = 2\delta_{jk},

kur "Tr" apzīmē matricas pēdu (diagonāles elementu summu) un \delta_{jk}\, ir Kronekera delta. Koeficients 1/√3 matricas λ8 priekšā ir izvēlēts tā, lai izpildītos šī sakarība. Ja katru no Gella-Manna matricām izdala ar √2, tad iegūtās matricas veido ortonormētu bāzi.

Komutāciju sakarības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

j k l djkl
1 1 8 1/\sqrt{3}\,
1 4 6 1/2\,
1 5 7 1/2\,
2 2 8 1/\sqrt{3}\,
2 4 7 -1/2\,
2 5 6 1/2\,
3 3 8 1/\sqrt{3}\,
3 4 4 1/2\,
3 5 5 1/2\,
3 6 6 -1/2\,
3 7 7 -1/2\,
4 4 8 -1/2\sqrt{3}\,
5 5 8 -1/2\sqrt{3}\,
6 6 8 -1/2\sqrt{3}\,
7 7 8 -1/2\sqrt{3}\,
8 8 8 -1/\sqrt{3}\,
j k l fjkl
1 2 3 1\,
1 4 7 1/2\,
1 5 6 -1/2\,
2 4 6 1/2\,
2 5 7 1/2\,
3 4 5 1/2\,
3 6 7 -1/2\,
4 5 8 \sqrt{3}/2\,
6 7 8 \sqrt{3}/2\,

Divu Gella-Manna matricu komutatoruj, λk] = λjλk − λkλj var izteikt kā lineāru kombināciju no Gella-Manna matricām:


  [\lambda_j, \lambda_k] = 2 i \sum_{l=1}^8 f_{jkl} \lambda_l,

kur koeficienti fjkl ir pilnīgi antisimetriski (fjkl = −fkjl utt.). Nenulles koeficientu vērtības ir dotas tabulā. Piemēram, f132 = −f123 = −1.

Līdzīga sakarība ir spēkā arī Gella-Manna matricu antikomutatoram:


  \{\lambda_j, \lambda_k\} = \frac{4}{3} \delta_{jk} I + 2 \sum_{l=1}^8 d_{jkl} \lambda_l,

kur \delta_{jk}\, ir Kronekera delta, I ir 3 × 3 vienības matrica un koeficienti djkl ir pilnīgi simetriski (djkl = dkjl utt.). Nenulles koeficientu vērtības ir dotas tabulā. Piemēram, d427 = d247 = −1/2.

Skatīt arī[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Papildus literatūra[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Pfeifer, Walter (2003), The Lie algebras su(N), an introduction (2nd izd.), Birkhäuser, ISBN 9783764324186, 4.1 The generators of the su(3)-algebra, 49. lpp..
  • Georgi, Howard (1999), Lie algebras in particle physics (2nd izd.), Da Capo Press, ISBN 9780738202334, 7.1 The Gell-Mann matrices, 98. lpp.
  • Greiner, Walter; Müller, Berndt (1994), Quantum mechanics: symmetries (2nd izd.), Springer, ISBN 9783540580805, 7. The SU(3) Symmetry, 195. lpp.
  • Kokkedee, J.J.J. (1969), Quark Model, Addison-Wesley Longman, Incorporated, ISBN 9780805356113.

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Murray, Gell-Mann (March 15, 1961), The Eightfold Way: A Theory of Strong Interaction Symmetry, doi:10.2172/4008239.
  2. Greiner et al., 8. Quarks and SU(3), 231. lpp.