Gella-Manna matricas

Gella-Manna matricas ir Pauli matricu vispārinājums 3 × 3 matricām. Tās ir nosauktas par godu amerikāņu fiziķim Marijam Gellam-Mannam, kurš tās izmantoja, lai aprakstītu stiprajai mijiedarbībai piemītošo simetriju. Tās tiek izmantotas, lai aprakstītu kvarku modeli. Mazāk tās tiek izmantotas kvantu hromodinamikā. Kvantu skaitļošanā tās tiek lietotas, lai aprakstītu kutritu jeb trīs līmeņu kvantu sistēmu.

Gella-Manna matricas ir šādas:

$\begin{align} \lambda_1 &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \lambda_2 &= \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \lambda_3 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \lambda_4 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \lambda_5 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \lambda_6 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} & \lambda_7 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} & \lambda_8 &= \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{align}$

Pirmajā, otrajā un trešajā kolonnā esošās matricas atgādina attiecīgi Pauli X, Y un Z matricas.

Īpašības

Algebriskās īpašības

Gella-Manna matricu algebriskās īpašības ir uzskaitītas zemāk dotajā tabulā.

Īpašība	Matemātiskais pieraksts
Ermita	$\lambda_i^\dagger = \lambda_i$
nulles pēda	$\operatorname{Tr}(\lambda_i) = 0$

Atšķirība no Pauli matricām, Gella-Manna matricas nav unitāras.

Bāze

Gella-Manna matricas veido maksimālu lineāri neatkarīgu (gan pār reālajiem, gan kompleksajiem skaitļiem) 3 × 3 Ermita matricu kopu jeb bāzi. Tas nozīmē, ka

• jebkuru 3 × 3 Ermita matricu var viennozīmīgi izteikt kā lineāru kombināciju ar reāliem koeficientiem no Gella-Manna matricām;
• jebkuru 3 × 3 kompleksu matricu var viennozīmīgi izteikt kā lineāru kombināciju ar kompleksiem koeficientiem no Gella-Manna matricām.

Gella-Manna matricu veidotā bāze ir ortogonāla attiecībā pret Hilberta-Šmita skalāro reizinājumu $\langle A, B \rangle = \operatorname{Tr}(A^\dagger B)$:

$\operatorname{Tr}(\lambda_j^\dagger \lambda_k) = 2\delta_{jk},$

kur "Tr" apzīmē matricas pēdu (diagonāles elementu summu) un $\delta_{jk}\,$ ir Kronekera delta. Koeficients 1/√3 matricas λ₈ priekšā ir izvēlēts tā, lai izpildītos šī sakarība. Ja katru no Gella-Manna matricām izdala ar √2, tad iegūtās matricas veido ortonormētu bāzi.

Komutāciju sakarības

j	k	l	djkl
1	1	8	$1/\sqrt{3}\,$
1	4	6	$1/2\,$
1	5	7	$1/2\,$
2	2	8	$1/\sqrt{3}\,$
2	4	7	$-1/2\,$
2	5	6	$1/2\,$
3	3	8	$1/\sqrt{3}\,$
3	4	4	$1/2\,$
3	5	5	$1/2\,$
3	6	6	$-1/2\,$
3	7	7	$-1/2\,$
4	4	8	$-1/2\sqrt{3}\,$
5	5	8	$-1/2\sqrt{3}\,$
6	6	8	$-1/2\sqrt{3}\,$
7	7	8	$-1/2\sqrt{3}\,$
8	8	8	$-1/\sqrt{3}\,$

j	k	l	fjkl
1	2	3	$1\,$
1	4	7	$1/2\,$
1	5	6	$-1/2\,$
2	4	6	$1/2\,$
2	5	7	$1/2\,$
3	4	5	$1/2\,$
3	6	7	$-1/2\,$
4	5	8	$\sqrt{3}/2\,$
6	7	8	$\sqrt{3}/2\,$

Divu Gella-Manna matricu komutatoru [λ_j, λ_k] = λ_jλ_k − λ_kλ_j var izteikt kā lineāru kombināciju no Gella-Manna matricām:

$[\lambda_j, \lambda_k] = 2 i \sum_{l=1}^8 f_{jkl} \lambda_l,$

kur koeficienti f_jkl ir pilnīgi antisimetriski (f_jkl = −f_kjl utt.). Nenulles koeficientu vērtības ir dotas tabulā. Piemēram, f₁₃₂ = −f₁₂₃ = −1.

Līdzīga sakarība ir spēkā arī Gella-Manna matricu antikomutatoram:

$\{\lambda_j, \lambda_k\} = \frac{4}{3} \delta_{jk} I + 2 \sum_{l=1}^8 d_{jkl} \lambda_l,$

kur $\delta_{jk}\,$ ir Kronekera delta, I ir 3 × 3 vienības matrica un koeficienti d_jkl ir pilnīgi simetriski (d_jkl = d_kjl utt.). Nenulles koeficientu vērtības ir dotas tabulā. Piemēram, d₄₂₇ = d₂₄₇ = −1/2.

Skatīt arī

• Pauli matricas

Papildus literatūra

• Pfeifer, Walter (2003), The Lie algebras su(N), an introduction (2nd izd.), Birkhäuser, ISBN 9783764324186 , 4.1 The generators of the su(3)-algebra, 49. lpp..
• Georgi, Howard (1999), Lie algebras in particle physics (2nd izd.), Da Capo Press, ISBN 9780738202334 , 7.1 The Gell-Mann matrices, 98. lpp.
• Greiner, Walter & Müller, Berndt (1994), Quantum mechanics: symmetries (2nd izd.), Springer, ISBN 9783540580805 , 7. The SU(3) Symmetry, 195. lpp.
• Kokkedee, J.J.J. (1969), Quark Model, Addison-Wesley Longman, Incorporated, ISBN 9780805356113 .