Inversās trigonometriskās funkcijas

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Inversās trigonometriskās funkcijas jeb ciklometriskās funkcijas ir trigonometrisko funkciju inversās funkcijas. Tām ir sašaurināti definīcijas apgabali, pie tam tā, lai šajā apgabalā katra funkcijas vērtība tiktu iegūta tikai vienu reizi. Pastāv inversā sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa, sekansa un kosekansa funkcijas. Inversās trigonometriskās funkcijas tiek izmantotas, lai aprēķinātu leņķus. Tās plaši tiek izmantotas navigācijā, fizikā, inženierijā u.c.

Visbiežāk inversās trigonometriskās funkcijas pieraksta, parastajai trigonometriskajai funkcijai pieliekot priekšā arc- (latīņu: arcus — ‘loks’) — arcsin x, arccos x utt. Vēl tās var tikt pierakstītas kā sin−1 (x), cos−1 (x), tan−1 (x) utt., taču šajā gadījumā tas var tikt sajaukts ar parasto trigonometrisko funkciju, kas kāpināta −1 pakāpē. Pastāv vēl dažādi to pieraksti.

Inverso trigonometrisko funkciju uzskaitījums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Nosaukums Pieraksts Definīcija x definīcijas apgabals Galvenās vērtības diapazons
(radiānos)
Galvenās vērtības diapazons
(grādos)
Arksinuss y = arcsin x x = sin y −1 ≤ x ≤ 1 π/2 ≤ yπ/2 −90° ≤ y ≤ 90°
Arkkosinuss y = arccos x x = cos y −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ yπ 0° ≤ y ≤ 180°
Arktangenss y = arctg x x = tg y visi reālie skaitļi π/2 < y < π/2 −90° < y < 90°
Arkkotangenss y = arcctg x x = ctg y visi reālie skaitļi 0 < y < π 0° < y < 180°
Arksekanss y = arcsec x x = sec y x ≤ −1 vai 1 ≤ x 0 ≤ y < π/2 vai π/2 < yπ 0° ≤ y < 90° vai 90° < y ≤ 180°
Arkkosekanss y = arccsc x x = csc y x ≤ −1 vai 1 ≤ x π/2 ≤ y < 0 vai 0 < yπ/2 -90° ≤ y < 0° vai 0° < y ≤ 90°

Atvasinājumi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Atvasinājumi kompleksām z vērtībām.


\begin{align}
\frac{d}{dz} \arcsin z & {}= \frac{1}{\sqrt{1-z^2}}; \quad z \neq -1, +1 \\
\frac{d}{dz} \arccos z & {}= \frac{-1}{\sqrt{1-z^2}}; \quad z \neq -1, +1 \\
\frac{d}{dz} \operatorname{arctg} z & {}= \frac{1}{1+z^2}; \quad z \neq -i, +i \\
\frac{d}{dz} \operatorname{arcctg} z & {}= \frac{-1}{1+z^2}; \quad z \neq -i, +i \\
\frac{d}{dz} \arcsec z & {}= \frac{1}{z^2\,\sqrt{1 - z^{-2}}}; \quad z \neq -1, 0, +1 \\
\frac{d}{dz} \arccsc z & {}= \frac{-1}{z^2\,\sqrt{1 - z^{-2}}}; \quad z \neq -1, 0, +1
\end{align}

Tikai x reālām vērtībām:


\begin{align}
\frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1\\
\frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1
\end{align}

Noteiktie, neīstie integrāļi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]


\begin{align}
\arcsin x &{}= \int_0^x \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\
\arccos x &{}= \int_x^1 \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\
\operatorname{arctg} x &{}= \int_0^x \frac 1 {z^2 + 1}\,dz,\\
\operatorname{arcctg} x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z^2 + 1}\,dz,\\
\arcsec x &{}= \int_1^x \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\
\arcsec x &{}= \pi + \int_x^{-1} \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \leq -1\\
\arccsc x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\
\arccsc x &{}= \int_{-\infty}^x \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \leq -1
\end{align}

Funkciju izvirzījumi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Funkciju izvirzījumi pakāpju rindās:

 \arcsin z = z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} 
+ \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\ 
= \sum_{n=0}^\infty \frac {\binom{2n} n z^{2n+1}} {4^n (2n+1)}; \qquad | z | \le 1


 \arccos z = \frac {\pi} {2} - \arcsin z
= \frac {\pi} {2} - \left( z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \cdots\ \right) 
= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {\binom{2n} n z^{2n+1}} {4^n (2n+1)}; \qquad | z | \le 1


 \operatorname{arctg} z = z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots\ 
= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i


 \operatorname{arcctg} z = \frac {\pi} {2} - \operatorname{arctg} z \ = \frac {\pi} {2} - \left( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots\ \right)  
= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i


 \arcsec z = \arccos {(1/z)} 
= \frac {\pi} {2} - \left( z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \cdots\ \right)  
= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {\binom{2n} n z^{-(2n+1)}} {4^n (2n+1)}; \qquad | z | \ge 1


 \arccsc z = \arcsin {(1/z)} 
= z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} +\cdots\ 
= \sum_{n=0}^\infty \frac {\binom{2n} n z^{-(2n+1)}} {4^n (2n+1)}; \qquad | z | \ge 1

Nenoteiktie integrāļi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Reālām un kompleksām x vērtībām:


\begin{align}
\int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\\
\int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\\
\int \operatorname{arctg} x\,dx &{}= x\,\operatorname{arctg} x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\
\int \operatorname{arcctg} x\,dx &{}= x\,\operatorname{arcctg} x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left[x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\right)\right] + C\\
\int \arccsc x\,dx &{}= x\,\arccsc x + \ln\left[x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\right)\right] + C
\end{align}

Reālām un kompleksām x ≥ 1 vērtībām:


\begin{align}
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C\\
\int \arccsc x\,dx &{}= x\,\arccsc x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C
\end{align}

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]