Kvadrātvienādojums

Kvadrātvienādojums ir otrās pakāpes vienādojums, kura vispārīgais veids ir

$a x^2 + b x + c = 0, \,$

kur $x$ ir nezināmais un $a$ ≠ 0. Izteiksmi $a x^2 + b x + c$ sauc par kvadrāttrinomu. No algebras pamatteorēmas seko, ka kvadrātvienādojumam ir tieši divas saknes (šīs saknes var būt vienādas).

Kvadrātvienādojuma saknes

Kvadrātvienādojuma $ax^2 + bx + c = 0$ saknes $x_1$ un $x_2$ var aprēķināt pēc formulas

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

jeb (izvērstā veidā)

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \quad\quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Kvadrātvienādojuma diskriminants

Lielumu

$D = b^2 - 4ac \,$

sauc par kvadrātvienādojuma $ax^2 + bx + c = 0$ diskriminantu. Šis skaitlis nosaka kvadrātvienādojuma sakņu veidu:

• ja $D > 0$, tad kvadrātvienādojumam ir divas dažādas reālas saknes;
• ja $D = 0$, tad kvadrātvienādojumam ir divkārša sakne, kuru aprēķina pēc formulas $x = -b / 2a$;
• ja $D < 0$, tad kvadrātvienādojumam ir divas kompleksi saistītas saknes.

Kvadrāttrinoma sadalīšana reizinātājos

Ja ir zināmas kvadrātvienādojuma $ax^2 + bx + c = 0$ saknes $x_1$ un $x_2$, tad attiecīgo kvadrāttrinomu $ax^2 + bx + c$ var sadalīt reizinātājos:

$ax^2 + bx + c = a (x - x_1) (x - x_2). \,$

Vjeta teorēma

Ja $x_1$ un $x_2$ ir kvadrātvienādojuma $x^2 + px + q = 0$ saknes, tad to summa ir vienāda ar koeficientu $p$, kurš ņemts ar pretēju zīmi, bet sakņu reizinājums ir vienāds ar $q$:

$x_1 + x_2 = -p, \quad\quad x_1 x_2 = q.$

Vispārīgā gadījumā, ja kvadrātvienādojums ir formā $ax^2 + bx + c = 0$, kur $a$ ≠ 0, un $x_1$ un $x_2$ ir tā saknes, tad

$x_1 + x_2 = -b/a, \quad\quad x_1 x_2 = c/a.$

Šo apgalvojumu sauc par Vjeta teorēmu, jo to pirmais pierādīja franču matemātiķis Fransuā Vjets.

Vjeta teorēmas pierādījums

Ja $x_1$ un $x_2$ ir kvadrātvienādojuma $x^2 + px + q = 0$ saknes, tad ir spēkā vienādība

$(x - x_1)(x - x_2) = x^2 + px + q. \,$

Atverot iekavas, iegūstam

$\begin{align} (x - x_1)(x - x_2) &= x^2 - x_1 x - x_2 x + x_1 x_2 \\ &= x^2 \underbrace{-(x_1 + x_2)}_{p} x + \underbrace{x_1 x_2}_{q}. \end{align}$

Vispārīgā gadījumā, ja kvadrātvienādojums ir formā $ax^2 + bx + c = 0$, kur $a$ ≠ 0, tad abas vienādojuma puses var izdalīt ar $a$ un iegūt kvadrātvienādojumu

$x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0.$

Šis kvadrātvienādojums ir formā $x^2 + px + q = 0,$ kur $p = b/a$ un $q = c/a$, tāpēc tam var pielietot augstāk aprakstīto vienkāršoto Vjeta teorēmas versiju. Rezultātā iegūst

$x_1 + x_2 = -b/a, \quad\quad x_1 x_2 = c/a,$

kur $x_1$ un $x_2$ ir vienādojuma $x^2 + px + q = 0$ saknes. Tā kā šis vienādojums ir ekvivalents sākotnējajam vienādojumam, tad $x_1$ un $x_2$ ir arī vienādojuma $ax^2 + bx + c = 0$ saknes.

Skatīt arī

• Bikvadrātvienādojums
• Diskriminants
• Lineārs vienādojums
• Polinoms
• Vienādojums

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Quadratic Equation, MathWorld.
• Quadratic formula, PlanetMath.
• Quadratic equation in C, PlanetMath.
• Derivation of quadratic formula, PlanetMath.
• Alexander Bogomolny, Graph and Roots of Quadratic Polynomial, cut-the-knot.org.
• Chris Budd, Chris Sangwin, 101 uses of a quadratic equation, 101 uses of a quadratic equation: Part II, Plus, 2004.