Kvadrātvienādojums

Vikipēdijas raksts

Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Kvadrātvienādojums ir otrās pakāpes vienādojums, kura vispārīgais veids ir

 a x^2 + b x + c = 0, \,

kur x ir nezināmais un a ≠ 0. Izteiksmi ax2 + bx + c sauc par kvadrāttrinomu. No algebras pamatteorēmas seko, ka kvadrātvienādojumam ir tieši divas saknes (šīs saknes var būt vienādas).

Satura rādītājs

[izmainīt šo sadaļu] Kvadrātvienādojuma saknes

Kvadrātvienādojuma ax2 + bx + c = 0 saknes x1 un x2 var aprēķināt pēc formulas

 x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

jeb (izvērstā veidā)


  x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \quad\quad
  x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

[izmainīt šo sadaļu] Kvadrātvienādojuma diskriminants

Lielumu

 D = b^2 - 4ac \,

sauc par kvadrātvienādojuma ax2 + bx + c = 0 diskriminantu. Šis skaitlis nosaka kvadrātvienādojuma sakņu veidu:

  • ja D > 0, tad kvadrātvienādojumam ir divas dažādas reālas saknes;
  • ja D = 0, tad kvadrātvienādojumam ir dubulta sakne, kuru aprēķina pēc formulas x = − b / 2a;
  • ja D < 0, tad kvadrātvienādojumam ir divas kompleksi saistītas saknes.

[izmainīt šo sadaļu] Kvadrāttrinoma sadalīšana reizinātājos

Ja ir zināmas kvadrātvienādojuma ax2 + bx + c = 0 saknes x1 un x2, tad attiecīgo kvadrāttrinomu ax2 + bx + c var sadalīt reizinātājos:

 ax^2 + bx + c = a (x - x_1) (x - x_2). \,

[izmainīt šo sadaļu] Vjeta teorēma

Ja x1 un x2 ir kvadrātvienādojuma x2 + px + q = 0 saknes, tad ir spēkā vienādība

 (x - x_1)(x - x_2) = x^2 + px + q. \,

Atverot iekavas, iegūstam


\begin{align}
  (x - x_1)(x - x_2)
  &= x^2 - x_1 x - x_2 x + x_1 x_2 \\
  &= x^2 \underbrace{-(x_1 + x_2)}_{p} x + \underbrace{x_1 x_2}_{q}.
\end{align}

Tātad, kvadrātvienādojuma x2 + px + q = 0 sakņu summa ir vienāda ar koeficientu p, kurš ņemts ar pretēju zīmi, bet sakņu reizinājums ir vienāds ar q:

 x_1 + x_2 = -p, \qquad\qquad x_1 x_2 = q.

Šo apgalvojumu sauc par Vjeta teorēmu, jo to pirmais pierādīja franču matemātiķis Fransuā Vjets.

Vispārīgā gadījumā kvadrātvienādojums ir formā ax2 + bx + c = 0, kur a ≠ 0. Ja abas šī vienādojuma puses izdala ar a, tad iegūst kvadrātvienādojumu

 x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0,

kurš ir formā

 x^2 + px + q = 0, \,

kur p = b / a un q = c / a. Pielietojot šim vienādojumam augstāk aprakstīto Vjeta teorēmu, iegūst

 x_1 + x_2 = -b/a, \qquad\qquad x_1 x_2 = c/a,

kur x1 un x2 ir vienādojuma x2 + px + q = 0 saknes. Tā kā šis vienādojums ir ekvivalents sākotnējajam vienādojumam, tad x1 un x2 ir arī vienādojuma ax2 + bx + c = 0 saknes.

[izmainīt šo sadaļu] Skatīt arī

[izmainīt šo sadaļu] Ārējās saites