Kvadrātvienādojums

Vikipēdijas raksts
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Kvadrātvienādojums ir otrās pakāpes vienādojums, kura vispārīgais veids ir

 a x^2 + b x + c = 0, \,

kur x ir nezināmais un a ≠ 0. Izteiksmi a x^2 + b x + c sauc par kvadrāttrinomu. No algebras pamatteorēmas seko, ka kvadrātvienādojumam ir tieši divas saknes (šīs saknes var būt vienādas).

Kvadrātvienādojuma saknes[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kvadrātvienādojuma ax^2 + bx + c = 0 saknes x_1 un x_2 var aprēķināt pēc formulas

 x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

jeb (izvērstā veidā)


  x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \quad\quad
  x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Lieto var arī -  x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Kvadrātvienādojuma diskriminants[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Lielumu

 D = b^2 - 4ac \,

sauc par kvadrātvienādojuma ax^2 + bx + c = 0 diskriminantu. Šis skaitlis nosaka kvadrātvienādojuma sakņu veidu:

  • ja D > 0, tad kvadrātvienādojumam ir divas dažādas reālas saknes;
  • ja D = 0, tad kvadrātvienādojumam ir divkārša sakne, kuru aprēķina pēc formulas x = -b / 2a;
  • ja D < 0, tad kvadrātvienādojumam ir divas kompleksi saistītas saknes.

Kvadrāttrinoma sadalīšana reizinātājos[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja ir zināmas kvadrātvienādojuma ax^2 + bx + c = 0 saknes x_1 un x_2, tad attiecīgo kvadrāttrinomu ax^2 + bx + c var sadalīt reizinātājos:

 ax^2 + bx + c = a (x - x_1) (x - x_2). \,

Vjeta teorēma[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja x_1 un x_2 ir kvadrātvienādojuma x^2 + px + q = 0 saknes, tad to summa ir vienāda ar koeficientu p, kurš ņemts ar pretēju zīmi, bet sakņu reizinājums ir vienāds ar q:

 x_1 + x_2 = -p, \quad\quad x_1 x_2 = q.

Vispārīgā gadījumā, ja kvadrātvienādojums ir formā ax^2 + bx + c = 0, kur a ≠ 0, un x_1 un x_2 ir tā saknes, tad

 x_1 + x_2 = -b/a, \quad\quad x_1 x_2 = c/a.

Šo apgalvojumu sauc par Vjeta teorēmu, jo to pirmais pierādīja franču matemātiķis Fransuā Vjets.

Skatīt arī[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]