Kvadrātvienādojums

Vikipēdijas raksts

Kvadrātvienādojums ir otrās pakāpes vienādojums, kura vispārīgais veids ir

$a x^2 + b x + c = 0, \,$

kur $x$ ir nezināmais un $a$ ≠ 0. Izteiksmi $a x 2 + b x + c$ sauc par kvadrāttrinomu. No algebras pamatteorēmas seko, ka kvadrātvienādojumam ir tieši divas saknes (šīs saknes var būt vienādas).

[izmainīt šo sadaļu] Kvadrātvienādojuma saknes

Kvadrātvienādojuma $a x 2 + b x + c = 0$ saknes $x 1$ un $x 2$ var aprēķināt pēc formulas

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

jeb (izvērstā veidā)

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \quad\quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

[izmainīt šo sadaļu] Kvadrātvienādojuma diskriminants

Lielumu

$D = b^2 - 4ac \,$

sauc par kvadrātvienādojuma $a x 2 + b x + c = 0$ diskriminantu. Šis skaitlis nosaka kvadrātvienādojuma sakņu veidu:

ja $D > 0$ , tad kvadrātvienādojumam ir divas dažādas reālas saknes;
ja $D = 0$ , tad kvadrātvienādojumam ir dubulta sakne, kuru aprēķina pēc formulas $x = - b / 2 a$ ;
ja $D < 0$ , tad kvadrātvienādojumam ir divas kompleksi saistītas saknes.

[izmainīt šo sadaļu] Kvadrāttrinoma sadalīšana reizinātājos

Ja ir zināmas kvadrātvienādojuma $a x 2 + b x + c = 0$ saknes $x 1$ un $x 2$ , tad attiecīgo kvadrāttrinomu $a x 2 + b x + c$ var sadalīt reizinātājos:

$ax^2 + bx + c = a (x - x_1) (x - x_2). \,$

[izmainīt šo sadaļu] Vjeta teorēma

Ja $x 1$ un $x 2$ ir kvadrātvienādojuma $x 2 + p x + q = 0$ saknes, tad ir spēkā vienādība

$(x - x_1)(x - x_2) = x^2 + px + q. \,$

Atverot iekavas, iegūstam

$\begin{align} (x - x_1)(x - x_2) &= x^2 - x_1 x - x_2 x + x_1 x_2 \\ &= x^2 \underbrace{-(x_1 + x_2)}_{p} x + \underbrace{x_1 x_2}_{q}. \end{align}$

Tātad, kvadrātvienādojuma $x 2 + p x + q = 0$ sakņu summa ir vienāda ar koeficientu $p$ , kurš ņemts ar pretēju zīmi, bet sakņu reizinājums ir vienāds ar $q$ :

$x_1 + x_2 = -p, \qquad\qquad x_1 x_2 = q.$

Šo apgalvojumu sauc par Vjeta teorēmu, jo to pirmais pierādīja franču matemātiķis Fransuā Vjets.

Vispārīgā gadījumā kvadrātvienādojums ir formā $a x 2 + b x + c = 0$ , kur $a$ ≠ 0. Ja abas šī vienādojuma puses izdala ar $a$ , tad iegūst kvadrātvienādojumu

$x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0,$

kurš ir formā

$x^2 + px + q = 0, \,$

kur $p = b / a$ un $q = c / a$ . Pielietojot šim vienādojumam augstāk aprakstīto Vjeta teorēmu, iegūst

$x_1 + x_2 = -b/a, \qquad\qquad x_1 x_2 = c/a,$

kur $x 1$ un $x 2$ ir vienādojuma $x 2 + p x + q = 0$ saknes. Tā kā šis vienādojums ir ekvivalents sākotnējajam vienādojumam, tad $x 1$ un $x 2$ ir arī vienādojuma $a x 2 + b x + c = 0$ saknes.

[izmainīt šo sadaļu] Skatīt arī

[izmainīt šo sadaļu] Ārējās saites

Eric W. Weisstein, Quadratic Equation, MathWorld.
Quadratic formula, PlanetMath.
Quadratic equation in C, PlanetMath.
Derivation of quadratic formula, PlanetMath.
Alexander Bogomolny, Graph and Roots of Quadratic Polynomial, cut-the-knot.org.
Chris Budd, Chris Sangwin, 101 uses of a quadratic equation, 101 uses of a quadratic equation: Part II, Plus, 2004.

Kvadrātvienādojums

Vikipēdijas raksts

Satura rādītājs

[izmainīt šo sadaļu] Kvadrātvienādojuma saknes

[izmainīt šo sadaļu] Kvadrātvienādojuma diskriminants

[izmainīt šo sadaļu] Kvadrāttrinoma sadalīšana reizinātājos

[izmainīt šo sadaļu] Vjeta teorēma

[izmainīt šo sadaļu] Skatīt arī

[izmainīt šo sadaļu] Ārējās saites

Apskates

Lietotāja rīki

Navigācija

Meklēt

Rīki

Citās valodās