Lopitāla kārtula

Vikipēdijas raksts
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt
Gijoms Lopitāls, kā vārdā ir nosaukta šī kārtula

Lopitāla kārtula ļauj netieši atrast funkciju dalījuma robežu, ja tiešie robežas noteikšanas paņēmieni noved līdz nenoteiktībai \tfrac{0}{0} vai \tfrac{\pm\infty}{\pm\infty}. Šim nolūkam sākotnējo funkciju dalījuma vietā aplūko to atvasinājumu dalījumu, kas daudzos gadījumos palīdz atbrīvoties no nenoteiktības.


Kārtula nosaukta franču matemātiķa Gijoma Lopitāla (1661–1704) vārdā, kaut arī to atklāja Lopitāla skolotājs, Šveices matemātiķis Johans Bernulli. Lopitāls bija pirmais, kurš šo kārtulu nopublicēja — savā diferenciālmācības grāmatā 1696. gadā.


Formulējums un noteikumi[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pieņemsim, dotas funkcijas f(x), g(x), un

\lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)=0 \text{   vai   } \pm\infty.

Ja eksistē robeža

\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} = L, tad
\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L.

Noteikumi:

  • c un L ir skaitļi no paplašinātās reālo skaitļu ass (t. i. ass, kas iekļauj ne tikai reālos skaitļus, bet arī negatīvo bezgalību - \infty un pozitīvo bezgalību + \infty).
  • Funkcijām f(x) un g(x) jābūt diferencējamām kādā atvērtā intervālā I, kurš ietver sevī punktu c vai kuram punkts c ir viens no galiem. Līdz ar to aplūkojamā robeža var būt arī vienpusīga \left(\lim_{x\to c^+}\frac{f(x)}{g(x)} \text{   vai   } \lim_{x\to c^-}\frac{f(x)}{g(x) }\right).
  • g'(x)\neq 0 visā intervālā I (izņemot, varbūt, punktu c, ja tas atrodas intervāla iekšienē un aplūkojamajā uzdevumā ir vienāds nullei).


Kārtulas neapgriežamība[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Apgrieztais princips nedarbojas: no tā, ka robežvērtība \textstyle \lim \tfrac{f(x)}{g(x)} eksistē, nevar izsecināt, ka eksistē arī \textstyle \lim \tfrac{f'(x)}{g'(x)}.
Arī \textstyle \lim \tfrac{f'(x)}{g'(x)} neesamība vēl nenozīmē \textstyle \lim \tfrac{f(x)}{g(x)} neesamību.
 


Piemēri[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Piemērs ar skaitlisku robežvērtību[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Jāatrod robeža \lim_{x\to \pi /2}\frac{\cos2x}{\sin x -e^{\cos x}}.             Šeit f(x):=\cos2x       un       g(x):= \sin x -e^{\cos x}.
 
Tā kā  \lim_{x\to \pi /2}{f(x)}=0 un  \lim_{x\to \pi /2}{g(x)}=0, pastāv nenoteiktība \frac{0}{0}.

Tāpēc aplūkosim \lim_{x\to \pi /2}\tfrac{f'(x)}{g'(x)}. Ja šī robeža eksistē, varēs izmantot Lopitāla kārtulu.

\lim_{x\to \pi /2} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to \pi /2} \frac{\cos2x}{\sin x - e^{\cos x}} = \lim_{x\to \pi /2} \frac{-2 \sin2x}{\cos x + e^{\cos x} \sin x} = \frac{(-2) \cdot (-1)}{0 + 1 \cdot 1}= 2.

Tātad, saskaņā ar Lopitāla kārtulu:

\lim_{x\to \pi /2}\frac{\cos2x}{\sin x -e^{\cos x}} = 2.


 

Piemērs ar robežvērtību ∞[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Jāatrod robeža \lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x}}{\ln(x)}.             Šeit f(x):=\sqrt{x}       un       g(x):=\ln(x).
 
Tā kā \lim_{x\to \infty}{f(x)}=\infty un  \lim_{x\to \infty}{g(x)}=\infty, pastāv nenoteiktība \tfrac{\infty}{\infty}.

Ja \lim_{x\to \infty}\tfrac{f'(x)}{g'(x)} eksistē, varēs izmantot Lopitāla kārtulu.

\lim_{x\to \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to \infty}{\frac{1}{2\sqrt{x}} \over \frac{1}{x}}=\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x}}{2} = \infty.

Lopitāla kārtulas izpratnē  \infty ir skaitlis un robežvērtība  \infty tiek uzskatīta par eksistējošu. Tātad, saskaņā ar Lopitāla kārtulu,

\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x}}{\ln(x)} = \infty.


 

Kārtulas secīgas izmantošanas piemērs[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja pēc vienas diferencēšanas atkal rodas nenoteiktība \tfrac{0}{0} vai \tfrac{\pm\infty}{\pm\infty}, Lopitāla kārtulu var pielietot atkārtoti, aplūkojot otro atvasinājumu attiecību, utt. Pieņemsim, jāatrod robeža \lim_{t\to 0}\frac{2r-2r\cos \omega t}{t^2}. Šeit pēc pirmās diferencēšanas nenoteiktība \tfrac{0}{0} vēl saglabājas, bet pēc otrās pazūd.
 

\lim_{t\to 0}\frac{2r-2r\cos \omega t}{t^2}=\lim_{t\to 0}\frac{2r \omega \sin \omega t}{2t}=\lim_{t\to 0}\frac{2r \omega ^2 \cos \omega t}{2}=r \omega ^2


Brīdinoši piemēri[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Nenoteiktības neesamība[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Neievērojot nenoteiktības esamības nepieciešamību, var iegūt nepareizus rezultātus. Aplūkosim sekojošo piemēru, kurā Lopitāla kārtula tiek uzreiz pielietota divas reizes ātras risināšanas labad.

\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 1}\frac{2x^2-x-1}{x^2 - x}=\lim_{x\to 1}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to 1}\frac{4x-1 }{2x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{f''(x)}{g''(x)}=\lim_{x\to 1}\frac{4}{2}=2

Šis rezultāts ir nepareizs. Kļūda ir radusies tāpēc, ka pirms otrās diferencēšanas netika ievērota prasība par nenoteiktības esamību. Pirmie atvasinājumi dod noteiktu dalījumu \tfrac{4 \cdot 1 -1}{2 \cdot 1 -1}, no kura var tieši atrast pareizo robežvērtību 3 .
 

Robežvērtības neesamība[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Prasība par robežvērtības \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} esamību ir būtiska, jo dažas funkcijas f \, ' un/vai g\,' var nerimstoši svarstīties. Ja tas notiek, Lopitāla kārtulu pielietot nevar.
Piemēram, \ f(x) := \sin x + 2x un \ g(x) := \cos x + 2x. Tātad, argumentam x tiecoties uz \infty, pastāv nenoteiktība \frac{\infty}{\infty}.

Bet Lopitāla kārtulu pielietot nevar, jo \lim_{x\to \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}= \lim_{x\to \infty}\frac{\cos x + 2}{-\sin x + 2} neeksistē kosinusa un sinusa funkciju periodiskuma dēļ, argumentam x tiecoties uz \infty. Tajā pat laikā sākotnējam dalījumam robežvērtība ir — to var atrast, pārveidojot sākotnējo dalījumu divos dalījumos: \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\to \infty}\frac{\sin x + 2x +\cos x -\cos x }{\cos x + 2x} =
\lim_{x\rightarrow \infty}\left(1 + \frac{\sin x - \cos x}{\cos x + 2x}\right)=1.


Kārtulas pieminēšana daiļliteratūrā[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Arkādija un Borisa Strugacku fantastikas romānā "Pirmdiena sākas sestdien" (1965) dežurējoši dēmoni laika kavēšanai stāsta viens otram anekdotes par nenoteiktības novēršanu ar Lopitāla metodi.

Saites[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]