Nabla

Vikipēdijas raksts
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Nabla jeb Hamiltona operators ir diferenciāls operators, ko lieto vektoru analīzē. To var pierakstīt kā formālu vektoru:


  \vec{\nabla} = \biggl(
    \frac{\partial}{\partial x},
    \frac{\partial}{\partial y},
    \frac{\partial}{\partial z}
  \biggr),

kur \partial/\partial x apzīmē parciālo atvasinājumu pēc mainīgā x.

Pielietojums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Operatoru nabla var izmantot, lai kompakti pierakstītu sarežģītas vektoru analīzes izteiksmes, kā arī atvieglotu darbības ar tām. Ar tā palīdzību var definēt citus svarīgus vektoru analīzes jēdzienus, piemēram, gradients, diverģence, rotors, atvasinājums norādītajā virzienā un Laplasa operators jeb Laplasiāns. Šos jēdzienus plaši izmanto matemātiskajā fizikā, hidrodinamikā[1] un kvantu mehānikā.

Gradients[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Skalāra lauka ƒ(x,y,z) gradientu var pierakstīt kā vektora \vec{\nabla} un skalārās funkcijas ƒ formālu reizinājumu:


  \mathrm{grad} \, f
  = \vec{\nabla} f
  = \biggl(
    \frac{\partial f}{\partial x},
    \frac{\partial f}{\partial y},
    \frac{\partial f}{\partial z}
  \biggr).

Diverģence[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja \vec{v}(x,y,z) ir vektoru lauks, kura komponentes apraksta skalāras funkcijas v_x(x,y,z)\,, v_y(x,y,z)\, un v_z(x,y,z)\,, tad šī lauka diverģenci var pierakstīt kā vektoru \vec{\nabla} un \vec{v} formālu skalāro reizinājumu:


  \mbox{div} \, \vec{v}
  = \vec{\nabla} \cdot \vec{v}
  = \frac{\partial v_x}{\partial x}
  + \frac{\partial v_y}{\partial y}
  + \frac{\partial v_z}{\partial z}.

Rotors[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Vektoru lauka \vec{v}(x,y,z) rotoru var pierakstīt kā vektoru \vec{\nabla} un \vec{v} formālu vektoriālo reizinājumu:


  \mbox{rot} \, \vec{v}
  = \vec{\nabla} \times \vec{v}
  = \biggl(
      \frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z},
      \frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x},
      \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y}
    \biggr).

Atvasinājums norādītajā virzienā[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Skalāra lauka ƒ(x,y,z) atvasinājumu vektora \vec{a} = (a_x, a_y, a_z) virzienā aprēķina pēc formulas[2]


  \mbox{grad}_{\vec{a}} \, f
  = a_x \frac{\partial f}{\partial x}
  + a_y \frac{\partial f}{\partial y}
  + a_z \frac{\partial f}{\partial z}.

Ar operatora nabla palīdzību šo izteiksmi var pierakstīt divos ļoti līdzīgos veidos:


  \mbox{grad}_{\vec{a}} \, f
  = (\vec{a} \cdot \vec{\nabla}) f
  = \vec{a} \cdot (\vec{\nabla} f).

Pirmajā gadījumā vispirms tiek aprēķināts vektoru \vec{a} un \vec{\nabla} formāls skalārais reizinājums un tad ar iegūto operatoru iedarbojas uz funkciju ƒ, formāli sareizinot abus objektus kā skalārus lielumus. Otrajā gadījumā aprēķina vektora \vec{a} formālu skalāro reizinājumu ar vektoru \vec{\nabla} f.

Laplasiāns[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Laplasa operators ir skalārs operators, ko, līdzīgi operatoram nabla, var pielietot gan skalāriem, gan vektoru laukiem. To var definēt kā operatora nabla formālu skalāro reizinājumu pašam ar sevi:


  \Delta
  = \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla}
  = \frac{\partial^2}{\partial x^2}
  + \frac{\partial^2}{\partial y^2}
  + \frac{\partial^2}{\partial z^2}.

Saīsināti šo sakarību mēdz pierakstīt arī šādi:


  \Delta = \vec{\nabla}^2.

Atšķirības no parasta vektora[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Lielākoties ar operatoru nabla var darboties kā ar parastu vektoru, taču dažos gadījumos ir jābūt uzmanīgam.[3] Piemēram, ja \vec{v}(x,y,z) ir vektoru lauks, tad tā skalārais reizinājums ar operatoru nabla nav komutatīvs:


  \vec{\nabla} \cdot \vec{v} \neq \vec{v} \cdot \vec{\nabla},

jo pirmā izteiksme ir vienāda ar lauka \vec{v} diverģenci, taču otra izteiksme ir vienāda ar operatoru


    v_x \frac{\partial}{\partial x}
  + v_y \frac{\partial}{\partial y}
  + v_z \frac{\partial}{\partial z},

kas aprēķina lineāru kombināciju no atvasinājumiem.

Skatīt arī[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Andrejs Cēbers, Teorētiskā hidrodinamika.
  2. Vitolds Gedroics, Atvasinājums norādītajā virzienā. Gradients, lekciju materiāli, Daugavpils Universitāte.
  3. Tai, Chen-To (1994), A survey of the improper use of ∇ in vector analysis.

Papildus literatūra[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Schey, Harry Moritz (2005), Div, grad, curl, and all that: an informal text on vector calculus (4 izd.), W.W. Norton, ISBN 978-0-39-392516-6.

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Eric W. Weisstein, Nabla, MathWorld.
  • Nabla, PlanetMath.