Nabla

Nabla jeb Hamiltona operators ir diferenciāls operators, ko lieto vektoru analīzē. To var pierakstīt kā formālu vektoru:

$\vec{\nabla} = \biggl( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \biggr),$

kur $\partial/\partial x$ apzīmē parciālo atvasinājumu pēc mainīgā x.

Pielietojums

Operatoru nabla var izmantot, lai kompakti pierakstītu sarežģītas vektoru analīzes izteiksmes, kā arī atvieglotu darbības ar tām. Ar tā palīdzību var definēt citus svarīgus vektoru analīzes jēdzienus, piemēram, gradients, diverģence, rotors, atvasinājums norādītajā virzienā un Laplasa operators jeb Laplasiāns. Šos jēdzienus plaši izmanto matemātiskajā fizikā, hidrodinamikā un kvantu mehānikā.

Gradients

Skalāra lauka ƒ(x,y,z) gradientu var pierakstīt kā vektora $\vec{\nabla}$ un skalārās funkcijas ƒ formālu reizinājumu:

$\mathrm{grad} \, f = \vec{\nabla} f = \biggl( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \biggr).$

Diverģence

Ja $\vec{v}(x,y,z)$ ir vektoru lauks, kura komponentes apraksta skalāras funkcijas $v_x(x,y,z)\,$, $v_y(x,y,z)\,$ un $v_z(x,y,z)\,$, tad šī lauka diverģenci var pierakstīt kā vektoru $\vec{\nabla}$ un $\vec{v}$ formālu skalāro reizinājumu:

$\mbox{div} \, \vec{v} = \vec{\nabla} \cdot \vec{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}.$

Rotors

Vektoru lauka $\vec{v}(x,y,z)$ rotoru var pierakstīt kā vektoru $\vec{\nabla}$ un $\vec{v}$ formālu vektoriālo reizinājumu:

$\mbox{rot} \, \vec{v} = \vec{\nabla} \times \vec{v} = \biggl( \frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z}, \frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x}, \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y} \biggr).$

Atvasinājums norādītajā virzienā

Skalāra lauka ƒ(x,y,z) atvasinājumu vektora $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ virzienā aprēķina pēc formulas

$\mbox{grad}_{\vec{a}} \, f = a_x \frac{\partial f}{\partial x} + a_y \frac{\partial f}{\partial y} + a_z \frac{\partial f}{\partial z}.$

Ar operatora nabla palīdzību šo izteiksmi var pierakstīt divos ļoti līdzīgos veidos:

$\mbox{grad}_{\vec{a}} \, f = (\vec{a} \cdot \vec{\nabla}) f = \vec{a} \cdot (\vec{\nabla} f).$

Pirmajā gadījumā vispirms tiek aprēķināts vektoru $\vec{a}$ un $\vec{\nabla}$ formāls skalārais reizinājums un tad ar iegūto operatoru iedarbojas uz funkciju ƒ, formāli sareizinot abus objektus kā skalārus lielumus. Otrajā gadījumā aprēķina vektora $\vec{a}$ formālu skalāro reizinājumu ar vektoru $\vec{\nabla} f$.

Laplasiāns

Laplasa operators ir skalārs operators, ko, līdzīgi operatoram nabla, var pielietot gan skalāriem, gan vektoru laukiem. To var definēt kā operatora nabla formālu skalāro reizinājumu pašam ar sevi:

$\Delta = \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}.$

Saīsināti šo sakarību mēdz pierakstīt arī šādi:

$\Delta = \vec{\nabla}^2.$

Atšķirības no parasta vektora

Lielākoties ar operatoru nabla var darboties kā ar parastu vektoru, taču dažos gadījumos ir jābūt uzmanīgam. Piemēram, ja $\vec{v}(x,y,z)$ ir vektoru lauks, tad tā skalārais reizinājums ar operatoru nabla nav komutatīvs:

$\vec{\nabla} \cdot \vec{v} \neq \vec{v} \cdot \vec{\nabla},$

jo pirmā izteiksme ir vienāda ar lauka $\vec{v}$ diverģenci, taču otra izteiksme ir vienāda ar operatoru

$v_x \frac{\partial}{\partial x} + v_y \frac{\partial}{\partial y} + v_z \frac{\partial}{\partial z},$

kas aprēķina lineāru kombināciju no atvasinājumiem.

Skatīt arī

• Gradients
• Laplasa operators
• Maksvela vienādojumi

Papildus literatūra

• Schey, Harry Moritz (2005), Div, grad, curl, and all that: an informal text on vector calculus (4 izd.), W.W. Norton, ISBN 978-0-39-392516-6 .

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Nabla, MathWorld.
• Nabla, PlanetMath.