Paraboloīds

Vikipēdijas raksts
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt
Kartupeļu čipsi Pringles hiperboliskā paraboloīda formā

Paraboloīds ir ar parabolu saistīts otrās kārtas virsmas veids. Paraboloīds ir neierobežota necentrāla virsma (tai nav simetrijas centra).

Paraboloīda kanoniskais vienādojums Dekarta koordinātās:

~z= ax^2+by^2
  • ja koeficienti a un b ir ar vienādām zīmēm, tad tādu paraboloīdu sauc par eliptisko paraboloīdu (speciālgadījumā, ja koeficienti ir vienādi, tādu virsmu sauc par rotācijas paraboloīdu);
  • ja koeficienti ir ar dažādām zīmēm, paraboloīdu dēvē par hiperbolisko paraboloīdu;
  • ja viens no koeficientiem vienāds ar 0, virsmu sauc par parabolisko cilindru.

Eliptiskais paraboloīds[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Rotācijas paraboloīds

Eliptisko paraboloīdu apraksta vienādojums

~2z = \frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2},

kur a un b zīmēm jābūt vienādām. Virsmu var aprakstīt ar savstarpēji paralēlu parabolu kopu, kurām zari vērsti vienā virzienā un kuru virsotnes atrodas uz tai pašā virzienā vērstas parabolas. Ja koeficienti a un b ir vienādi, tad virsma pieder pie rotācijas virsmām un to var iegūt, griežot parabolu ap tās simetrijas asi. Eliptisko paraboloīdu viegli iztēloties kā saspiestu rotācijas paraboloīdu.

Hiperboliskais paraboloīds[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Hiperboliskais paraboloīds

Hiperbolisko paraboloīdu jeb sedlveida virsmu apraksta ar vienādojumu

2z = \frac {x^2}{a^2} - \frac {y^2}{b^2}=\left(\frac xa+\frac yb\right)\left(\frac xa-\frac yb\right).

Hiperboliskais paraboloīds veidojas, pārvietojot parabolu pa otru, pretējā virzienā vērstu, parabolu tā, ka pirmā parabola saskaras ar otru ar savu virsotni. To var iegūt arī, noteiktā veidā (precīzāk, divos veidos) pārvietojot telpā taisni[1]. Caur katru sedlveida virsmas punktu var novilkt divas krustojošās taisnes, kuras pilnīgi pieder šai virsmai[2].

Hiperboliskais paraboloīds ir virsma ar negatīvu virsmas liekumu.

Izmantošana[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Spogulis rotācijas paraboloīda formā fokusē staru kūli, kas paralēls tā galvenajai asij, vienā punktā (paraboloīda fokusā). Savukārt šajā fokusā novietots gaismas avots veido paralēlu staru kūli. Uz to pamatojas dažādu prožektoru, automobiļu lukturu, parabolisko antenu, reflektora tipa teleskopu darbība.

Interesanti fakti[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Alekseja Tolstoja fantastiskajā romānā "Inženiera Garina hiperboloīds" aprakstītajam hiperboloīdam, spriežot pēc tā īpašībām, īstenībā jābūt paraboloīdam.

Skatīt arī[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Literatūra[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • E. Kronbergs, P. Rivža, Dz. Bože. Augstākā matemātika. 1. daļa. R:, Zvaigzne, 1988, 118.-119. lpp.

Atsauces[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Г. Штейнгауз. Математический калейдоскоп. Москва, "Наука", 1981, 125. lpp. (krieviski)
  2. Kārlis Freivalds. Analītiskā ģeometrija. Otrās kārtas virsmas.
Commons:Category
Vikikrātuvē ir pieejami multimediju faili par šo tēmu. Skatīt: Paraboloīds