Pauli matricas

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Pauli matricas ir noteikta veida 2 × 2 izmēru kompleksas matricas, kuras pirmais sācis lietot fiziķis Volfgangs Pauli, lai aprakstītu spinu. Matricas ir šādas:


  \sigma_1 = \sigma_x = X =
    \begin{pmatrix}
      0 & 1 \\
      1 & 0
    \end{pmatrix},

  \sigma_2 = \sigma_y = Y =
    \begin{pmatrix}
      0 & -i \\
      i & 0
    \end{pmatrix},

  \sigma_3 = \sigma_z = Z =
    \begin{pmatrix}
      1 & 0 \\
      0 & -1
    \end{pmatrix},

kur i ir imaginārā vienība. Dažreiz arī 2 × 2 vienības matricu


  \sigma_0 = I =
    \begin{pmatrix}
      1 & 0 \\
      0 & 1
    \end{pmatrix}

pieskaita pie Pauli matricām. Ja nepieciešams summēt pār Pauli matricām, tad parasti tās apzīmē ar grieķu burtu σ (sigma), norādot indeksu (šis apzīmējums plaši izplatīts fizikā). Citos gadījumos uzskatāmībai tiek lietoti lielie burti X, Y, Z (piemēram, kvantu skaitļošanā).

Pauli matricas ir īpašas ar to, ka tās vienlaicīgi ir gan Ermita, gan unitāras, un kopā ar vienības matricu tās veido bāzi visām 2 × 2 matricām.

Īpašības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Algebriskās īpašības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pauli matricu algebriskās īpašības ir uzskaitītas zemāk dotajā tabulā. Daļa no šīm īpašībām neizpildās vienības matricai \sigma_0\, (tas norādīts trešajā kolonnā).

Pauli matricu īpašības
Īpašība Matemātiskais pieraksts Izpildās \sigma_0
Ermita \sigma_i^\dagger = \sigma_i
unitāra \sigma_i^\dagger \sigma_i = \sigma_i \sigma_i^\dagger = I
involūcija (pati sev inversā) \sigma_i^{-1} = \sigma_i \;\; \text{jeb} \;\; \sigma_i^2 = I
nulles pēda \operatorname{Tr}(\sigma_i) = 0
determinants -1 \det(\sigma_i) = -1\,
īpašvērtības ±1 \det(\sigma_i - \lambda I) = \lambda^2 - 1 = 0\,

Bāze[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pauli matricas veido maksimālu lineāri neatkarīgu (gan pār reālajiem, gan kompleksajiem skaitļiem) 2 × 2 Ermita matricu kopu jeb bāzi. Tas nozīmē, ka

  • jebkuru 2 × 2 Ermita matricu var viennozīmīgi izteikt kā lineāru kombināciju ar reāliem koeficientiem no Pauli matricām;
  • jebkuru 2 × 2 kompleksu matricu var viennozīmīgi izteikt kā lineāru kombināciju ar kompleksiem koeficientiem no Pauli matricām.

Līdzīgā veidā Pauli matricu n-kāršie tenzorreizinājumi veido bāzi attiecīgi 2n × 2n Ermita un 2n × 2n kompleksajām matricām.

Pauli matricu veidotā bāze ir ortogonāla attiecībā pret Hilberta-Šmita skalāro reizinājumu \langle A, B \rangle = \operatorname{Tr}(A^\dagger B):


  \operatorname{Tr}(\sigma_j^\dagger \sigma_k) = 2\delta_{jk},

kur "Tr" apzīmē matricas pēdu (diagonāles elementu summu) un \delta_{jk}\, ir Kronekera delta. Ja katru no Pauli matricām izdala ar \sqrt{2}, tad iegūtās matricas veido ortonormētu bāzi.

Reizināšanas likums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pauli matricu reizināšanas tabula
I X Y Z
I I X Y Z
X X I iZ −iY
Y Y −iZ I iX
Z Z iY −iX I

Tā kā Pauli matricas veido bāzi visām 2 × 2 kompleksajām matricām, tad jebkuru divu Pauli matricu reizinājumu var viennozīmīgi izteikt kā lineāru kombināciju no Pauli matricām. Vispārīgā gadījumā Pauli matricu reizināšanas likumu var uzrakstīt šādi:


  \sigma_j \cdot \sigma_k = \delta_{jk} \, I + i \sum_{l=1}^3 \varepsilon_{jkl} \sigma_l.

Pa labi ir dota Pauli matricu reizināšanas tabula (j-tās rindiņas un k-tās kolonnas krustpunktā dota σj·σk vērtība).

Grupas struktūra[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pauli matricas neveido grupu, jo kopa {I, X, Y, Z} nav slēgta pret reizināšanu (tas ir redzams no Pauli matricu reizināšanas tabulas). Ir vairāki veidi, kā Pauli matricas var papildināt, lai iegūtu kopu, kas ir noslēgta pret reizināšanu. Viens no veidiem ir atļaut koeficientus ±1 un ±i. Tad iegūst grupu, kas sastāv no 16 elementiem:


  \{ c \sigma \mid c = \pm 1, \pm i, \; \sigma = I, X, Y, Z \}

Taču šai grupai ir apakšgrupa, kas ir izomorfa kvaternioniem:[1]


  (I, iX, iY, iZ) \simeq (1, k, j, i).

Komutāciju sakarības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pauli matricu komutatori
I X Y Z
I 0 0 0 0
X 0 0 2iZ −2iY
Y 0 −2iZ 0 2iX
Z 0 2iY −2iX 0

Pauli matricām piemīt šādas komutācijas un antikomutācijas sakarības:


\begin{array}{ccl}
  \left[  \sigma_j, \sigma_k \right]  &=& 2 i \varepsilon_{jkl} \, \sigma_l, \\[0.9ex]
  \left\{ \sigma_j, \sigma_k \right\} &=& 2 \delta_{jk} \, I,
\end{array}

kur j, k ∈ {1,2,3}, indekss l ir jāsummē no 1 līdz 3 (tam tiek lietota Einšteina summēšanas konvencija), [A, B] = ABBA ir komutators, i ir imaginārā vienība, \varepsilon_{jkl} ir Levi-Čivita simbols, {A, B} = AB + BA ir antikomutators, \delta_{jk}\, ir Kronekera delta un I ir vienības matrica. Šīs abas sakarības izriet no Pauli matricu reizināšanas likuma. Pauli matricu komutatoru vērtības ir dotas tabulā (j-tās rindiņas un k-tās kolonnas krustpunktā dota [σj, σk] vērtība).

Īpašvērtības un īpašvektori[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pauli matricu īpašvērtības un īpašvektori
X Y Z
īpašvērtība +1  \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}  \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
īpašvērtība -1  \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}  \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 0 \\  1 \end{pmatrix}

Visām Pauli matricām (izņemot vienības matricu) ir īpašvērtības +1 un -1. Tām atbilstošie vienības garuma īpašvektori ir doti tabulā.

Skatīt arī[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Nakahara, Mikio (2003), Geometry, topology, and physics (2nd izd.), CRC Press, ISBN 9780750306065, lpp. xxii.

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]