Sfēriskā koordinātu sistēma

Sfēriskā koordinātu sistēma ir koordinātu sistēma ģeometrisku figūru attēlošanai trīs dimensijās, kurā tiek izmantoti parametri (r, θ, φ). To iegūst, polārajai koordinātu sistēmai (r, φ) pieliekot papildus parametru θ, kas raksturo stara leņķi ar z asi un ļauj tam pārvietoties trīsdimensiju telpā. Savukārt parametrs φ raksturo leņķi stara projekcijai xy plaknē ar x asi. Virsma, kas veidojas, mainot leņķus θ un φ (bet nemainot r), ir sfēra. Ja maina arī r, tad iegūst lodi.

Saistība ar Dekarta koordinātu sistēmu

Pāreja uz Dekarta koordinātu sistēmu

Nosacījums	Nosaukums
$\theta=0\,$	Ziemeļpols
$\theta<\pi/2\,$	Ziemeļu puslode
$\theta=\pi/2\,$	ekvators
$\theta>\pi/2\,$	Dienvidu puslode
$\theta=\pi\,$	Dienvidpols
$\varphi=0\,$	Griničas meridiāns

Pāreju no sfēriskās koordinātu sistēmas uz trīsdimensiju taisnleņķa koordinātām apraksta vienādojumi:

$\, x = r \sin \theta \, \cos \varphi,$

$\, y = r \sin \theta \, \sin \varphi,$

$\, z = r \cos \theta,$

kur parametri θ un φ atbilst attiecīgi platuma un garuma grādiem un tie apmierina nevienādības

$\, 0 \leq \theta \leq \pi$ un $0 \leq \varphi < 2 \pi$,

kur $\pi\,$ = 180°.

Parametra θ vērtības 0, $\pi\,$/2 un $\pi\,$ atbilst attiecīgi Ziemeļpolam, ekvatoram un Dienvidpolam. Ja pie fiksēta φ maina parametra θ vērtību, tad punkts (x, y, z) pārvietojas pa meridiānu. Līdzīgi, mainot φ, tas pārvietojas pa paralēli. Polos parametra φ vērtībai nav nozīmes.

Pāreja no Dekarta koordinātu sistēmas

Zinot Dekarta koordinātas (x, y, z), sfēriskās koordinātas (r, θ, φ) var atrast šādi:

$\begin{align} r &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \\ \varphi &= \operatorname{atan2} \, (y, x), \\ \theta &= \operatorname{atan2} \, (\sqrt{x^2 + y^2}, z) = \arccos \bigl( z\big/\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \bigr), \end{align}$

kur atan2(y, x) ir arktangensa funkcijas modifikācija, kas atgriež leņķi starp staru caur punktu (x, y) un x ass pozitīvo virzienu.

Pielietojumi

Sfērisko koordinātu sistēmu lieto, lai aprakstītu Zemes punktu koordinātas. Šajā gadījumā koordinātu sākumpunkts atrodas zemes centrā, un r ir konstants (vienāds ar Zemes rādiusu), bet atrašanās vietu apraksta leņķi θ un φ. Ģeogrāfiskais garums atbilst leņķim φ un var būt robežās no -180° līdz 180°, bet ģeogrāfiskais platums θ' = 90° − θ ir atkarīgs no leņķa θ un var būt robežās no -90° līdz 90°.

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Spherical Coordinates, MathWorld.
• Spherical coordinates, PlanetMath.
• Polar Coordinates, Kwon3D.
• Frank Wattenberg, Spherical Coordinates.