Trīsstūra augstums

Vikipēdijas raksts
(Pāradresēts no Trijstūra augstums)
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt
Trijstūra augstumi.

Trīsstūra augstums ir nogrieznis, kas savieno trīsstūra virsotni ar pretējo malu vai tās pagarinājumu un ar to veido taisnu leņķi.

Atkarībā no trīsstūra veida, augstums var atrasties trīsstūra iekšpusē (šaurleņķu trīsstūrim), sakrist ar trīsstūra malu (taisnleņķa trīsstūrim) vai atrasties ārpus trīsstūra (platleņķa trīsstūrim). Visi trīs trīsstūra augstumi krustojas vienā punktā, ko sauc par trīsstūra ortocentru.

Formulas[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Jebkuram trīsstūrim[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja trijstūra laukums ir S un vienas tā malas garums ir a, tad pret šo malu novilkta augstuma garums ir

 h_a = \frac{2S}{a}.

Ja a, b un c ir trīsstūra malu garumi, tad pret šīm malām novilkto augstumu garumiem ir spēkā šādas attiecības:

 h_a : h_b : h_c = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c} = bc : ac : ab.

Vienādsānu trīsstūrim[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja vienādsānu trijstūra pamata garums ir c, bet sānu malas garums ir a, tad no Pitagora teorēmas hc2 + (c/2)2 = a2 izriet, ka pret pamatu novilkta augstuma garums ir

 h_c = \frac{1}{2} \sqrt{4 a^2 - c^2}.

Regulāram trīsstūrim[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja trijstūris ir regulārs un visu tā malu garumi ir vienādi ar a, tad jebkura augstuma garums ir

 h = \frac{a \sqrt{3}}{2}.

Taisnleņķa trīsstūrim[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Taisnleņķa trīsstūrī augstums h, kas novilkts no taisnā leņķa virsotnes pret hipotenūzu c, sadala trīsstūri divos tam līdzīgos trīsstūros. Ja šis augstums hipotenūzu sadala nogriežņos garumā n un m (kur nogrieznis n atrodas tuvāk malai a, bet m — tuvāk malai b), tad c/a = a/n un c/b = b/m. Šīs attiecības var pārrakstīt arī kā a2 = cn un b2 = cm. Ievietojot tās Pitagora teorēmā a2 + b2 = (n + m)2, iegūst

 h^2 = nm. \,

Tā kā taisnleņķa trīsstūra laukumu var aprēķināt gan kā S = hc/2, gan kā S = ab/2, tad

 h = ab/c. \,

Skatīt arī[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ārējās saites[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Eric W. Weisstein, Altitude, MathWorld.