Trīsstūra augstums

Trijstūra augstumi.

Trīsstūra augstums ir nogrieznis, kas savieno trīsstūra virsotni ar pretējo malu vai tās pagarinājumu un ar to veido taisnu leņķi.

Atkarībā no trīsstūra veida, augstums var atrasties trīsstūra iekšpusē (šaurleņķu trīsstūrim), sakrist ar trīsstūra malu (taisnleņķa trīsstūrim) vai atrasties ārpus trīsstūra (platleņķa trīsstūrim). Visi trīs trīsstūra augstumi krustojas vienā punktā, ko sauc par trīsstūra ortocentru.

Formulas

Jebkuram trīsstūrim

Ja trijstūra laukums ir S un vienas tā malas garums ir a, tad pret šo malu novilkta augstuma garums ir

$h_a = \frac{2S}{a}.$

Ja a, b un c ir trīsstūra malu garumi, tad pret šīm malām novilkto augstumu garumiem ir spēkā šādas attiecības:

$h_a : h_b : h_c = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c} = bc : ac : ab.$

Vienādsānu trīsstūrim

Ja vienādsānu trijstūra pamata garums ir c, bet sānu malas garums ir a, tad no Pitagora teorēmas h_c² + (c/2)² = a² izriet, ka pret pamatu novilkta augstuma garums ir

$h_c = \frac{1}{2} \sqrt{4 a^2 - c^2}.$

Regulāram trīsstūrim

Ja trijstūris ir regulārs un visu tā malu garumi ir vienādi ar a, tad jebkura augstuma garums ir

$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}.$

Taisnleņķa trīsstūrim

Taisnleņķa trīsstūrī augstums h, kas novilkts no taisnā leņķa virsotnes pret hipotenūzu c, sadala trīsstūri divos tam līdzīgos trīsstūros. Ja šis augstums hipotenūzu sadala nogriežņos garumā n un m (kur nogrieznis n atrodas tuvāk malai a, bet m — tuvāk malai b), tad c/a = a/n un c/b = b/m. Šīs attiecības var pārrakstīt arī kā a² = cn un b² = cm. Ievietojot tās Pitagora teorēmā a² + b² = (n + m)², iegūst

$h^2 = nm. \,$

Tā kā taisnleņķa trīsstūra laukumu var aprēķināt gan kā S = hc/2, gan kā S = ab/2, tad

$h = ab/c. \,$

Skatīt arī

• Bisektrise
• Mediāna
• Vidusperpendikuls
• Eilera taisne

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Altitude, MathWorld.