Unitāra matrica

Matemātikā unitāra matrica ir tāda n ×n kompleksa matrica U, kurai izpildās sakarība

$U^\dagger U = I, \,$

kur I ir n ×n vienības matrica, U^† = U^T ir matricas U konjugēti transponētā matrica (kompleksi saistītās matricas U transponētā matrica) un U^†U apzīmē matricu U^† un U reizinājumu. Šī sakarība izsaka to, ka matricas U kolonnas veido ortonormētu bāzi n dimensiju kompleksajai telpai Cⁿ.

Ekvivalentas definīcijas

Unitāru matricu var definēt vairākos ekvivalentos veidos. Ja U ir kompleksa n × n matrica, tad visi zemāk uzskaitītie apgalvojumi ir ekvivalenti:

1. U ir unitāra (jeb U^†U = I),
2. U^† ir unitāra (jeb UU^† = I),
3. U ir nesingulāra un U^† = U^-1, kur U^-1 ir matricas U inversā matrica,
4. matricas U rindiņas veido ortonormētu bāzi telpai Cⁿ,
5. matricas U kolonnas veido ortonormētu bāzi telpai Cⁿ,
6. reizināšana ar U nemaina vektoru garumu (ja x ir patvaļīgs kolonnas vektors telpā Cⁿ un y = Ux, tad ||x|| = ||y||, kur ||x|| = √x^†x ir vektora x norma),
7. matrica U ir normāla un tās īpašvērtības atrodas uz vienības riņķa līnijas kompleksajā plaknē (jeb ir formā e^iφ, kur φ ir reāls skaitlis),
8. visas matricas U singulārās vērtības ir vienādas ar 1,
9. eksistē tāda Ermita matrica H, ka U = exp(iH) , kur i ir imaginārā vienība un exp ir matricas eksponentfunkcija:

$\exp(X) = \sum_{k=0}^\infty \frac{X^k}{k!}.$

Piemēri

Vienības matrica

$U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad U^\dagger = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad U U^\dagger = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I.$

Rotācijas matrica

$U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 1 \\ -1 & \sqrt{3} \end{pmatrix}, \quad U^\dagger = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -1 \\ 1 & \sqrt{3} \end{pmatrix}, \quad U U^\dagger = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = I.$

Diskrētā Furjē transformācija

Ja ω = exp(2πi/3) ir kubsakne no 1, tad 3 × 3 matrica, kas apraksta diskrēto Furjē transformāciju, ir unitāra:

$U = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{pmatrix}, \quad U^\dagger = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega^2 & \omega \\ 1 & \omega & \omega^2 \end{pmatrix}, \quad U U^\dagger = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = I.$

Grupas struktūra

Ja U un V ir vienādu izmēru unitāras matricas, tad arī to reizinājums UV ir unitāra matrica. Unitāras matricas inversā matrica arī ir unitāra, jo tā ir vienāda ar dotās matricas konjugēti transponēto matricu. Piedevām, matricu reizināšana ir asociatīva un vienības matrica ir unitāra, tāpēc visas n × n unitārās matricas veido grupu. Šo grupu apzīmē ar U(n) un sauc par unitāro grupu. Visas unitārās matricas, kuru determinants ir vienāds ar 1, arī veido grupu — speciālo unitāro grupu, ko apzīmē ar SU(n). Tā ir grupas U(n) normāla apakšgrupa.

Īpašie gadījumi

• Unitāru matricu, kas ir reāla, sauc par ortogonālu matricu.
• Unitāru matricu, kuras katrs no elementiem ir 0 vai 1, sauc par permutāciju matricu.

Pielietojums

Unitāras transformācijas ir bieži sastopamas gan matemātikā, gan fizikā. Piemēram, kvantu mehānikā Šrēdingera vienādojuma atrisinājums atbilst unitārai transformācijai, tāpēc sistēmas stāvokļa maiņu apraksta ar unitāras transformācijas palīdzību. Elementārdaļiņu fizikā speciālā unitārā grupa SU(n) tiek plaši lietota tā saucamajā standarta modelī. Piemēram, grupa SU(2) tiek izmantota, lai aprakstītu elektrovājo mijiedarbību, bet grupa SU(3) tiek lietota kvantu hromodinamikā (šīs grupas ir saistītas attiecīgi ar Pauli un Gella-Manna matricām).

Skatīt arī

• Unitārā grupa
• Ortogonāla matrica
• Ermita matrica
• Normāla matrica

Atsauces

• Horn, Roger A. & Johnson, Charles R. (1990), Matrix analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-52-138632-6 .

Ārējās saites

• Todd Rowland, Unitary Matrix, MathWorld.
• Ivanova O.A., Unitary matrix, Springer.