Vektoriālais reizinājums

Vektoriālais reizinājums labējā bāzē.

Matemātikā vektoriālais reizinājums ir bināra operācija, kas diviem trīsdimensiju Eiklīda telpā esošiem vektoriem piekārto vektoru, kas perpendikulārs dotajiem vektoriem un kura garums vienāds ar sākotnējo vektoru veidotā paralelograma laukumu.

Vektoriālo reizinājumu no diviem vektoriem ir iespējams definēt tikai trīs un septiņās dimensijās.

Definīcija

Lai noteiktu iegūtā vektora virzienu, izmanto labās rokas likumu.

Par trīsdimensiju Eiklīda telpā esošu vektoru $\vec{a}$ un $\vec{b}$ vektoriālo reizinājumu sauc tādu vektoru $\vec{c}$, ka

• $\vec{a} \perp \vec{c}$ un $\vec{b} \perp \vec{c}$,
• $|\, \vec{c} \,| = |\, \vec{a} \,| \, |\, \vec{b} \,| \sin \theta$, kur θ ir leņķis starp vektoriem $\vec{a}$ un $\vec{b}$,
• vektors $\vec{c}$ ir orientēts tā, ka trijnieks $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ veido labēju bāzi.

Vektoriālā reizinājuma darbību apzīmē ar "×", piemēram, $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$.

Aprēķināšanas metodes

Pa tiešo

Ja $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ un $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$, tad

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1).$

Ar determinanta palīdzību

Vektoriālo reizinājumu var aprēķināt ar formāla determinanta palīdzību:

$\begin{align} \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{e}_1 & \vec{e}_2 & \vec{e}_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} &= \vec{e}_1 \; \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} - \vec{e}_2 \; \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} + \vec{e}_3 \; \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \\ &= \vec{e}_1 (a_2 b_3 - a_3 b_2) + \vec{e}_2 (a_3 b_1 - a_1 b_3) + \vec{e}_3 (a_1 b_2 - a_2 b_1), \end{align}$

kur $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3$ ir vienības vektori, kas vērsti koordinātu asu virzienos.

Ar matricu palīdzību

Ja $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$, tad

$\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}.$

Ar summas palīdzību

Vektoriālā reizinājuma i-to komponenti var aprēķināt šādi:

$(\vec{a} \times \vec{b})_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k,$

kur $\varepsilon_{ijk}$ ir Levi-Čivita simbols. Ja katru no komponentēm sareizina ar attiecīgo bāzes vektoru un saskaita kopā, tad iegūst

$\vec{a} \times \vec{b} = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \vec{e}_i a_j b_k.$

Sakarības

Vektoriālais reizinājums ir antikomutatīvs:

$\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}.$

No tā izriet, ka

$\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}.$

Divkāršā vektoriālā reizinājuma formula (viegli atcerēties kā "BAC mīnus CAB"):

$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{b} \, (\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c} \, (\vec{a} \cdot \vec{b}).$

Vektoriālais reizinājums nav asociatīvs, taču tas apmierina Jakobi sakarību

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = 0.$

Skatīt arī

• Skalārais reizinājums
• Jauktais reizinājums
• Pseidoskalārais reizinājums