Bāze (aritmētika)

Vikipēdijas raksts
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Par bāzi pozicionālajās skaitīšanas sistēmās sauc ciparu skaitu, kāds tiek izmantots skaitļu atveidošanai. Bāze parasti ir par 1 lielāka nekā lielākā cipara vērtība. Piemēram, pašlaik populārākajā lietotajā skaitīšanas sistēmā ar bāzi 10decimālajā sistēmā — ir 10 cipari, kur lielākais ir 9.

Apzīmējumi[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Visbiežāk uzrakstītā skaitļa bāzi, ja tā nav noprotama no konteksta, pieraksta kā apakšējo indeksu aiz skaitļa. Pašu bāzi parasti raksta decimālajā sistēmā.

Bāzēm, kas ir lielākas par 10, kā papildu nepieciešamos ciparus parasti paņem alfabēta pirmos burtus (parasti izmanto lielos). Piemēram, sešpadsmitnieku skaitīšanas sistēmas cipari ir 0 .. 9, A, B, C, D, E, F.

Piemērs[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

1111000001_2 = 1701_8 = 961_{10} = 3C1_{16} \

Vērtība[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kaut kādā bāzē uzrakstīta skaitļa vērtību (ar "vērtību" šeit saprot skaitļa pierakstu decimālajā sistēmā) aprēķina, tā ciparus reizinot ar to pozīciju vērtībām, kurās tie atrodas, un visus reizinājumus saskaitot kopā. Cipara pozīcijas vērtību savukārt atrod, bāzi kāpinot pakāpē, kas ir šī cipara pozīcijas kārtas skaitlis (vai, varētu teikt, pati pozīcija, t.i., kurš cipars pēc kārtas (no beigām) tas ir).

Ja ir dots skaitlis ar cipariem a_0, a_1 .. a_n bāzē b, tad tā vērtību aprēķina:

a_na_{n-1} \ldots a_2a_1a_0\ _b = a_n \cdot b^n + a_{n-1} \cdot b^{n-1} + \ldots + a_2 \cdot b^2 + a_1 \cdot b + a_0

vai (vieglāk aprēķināt, jo mazāk reizināšanu)

a_na_{n-1} \ldots a_2a_1a_0\ _b = (\ldots((a_n \cdot b + a_{n-1}) \cdot b + a_{n-2}) \cdot \ldots \cdot b + a_1) \cdot b + a_0

Piemērs[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

101121_3 = ((((1 \cdot 3 + 0) \cdot 3 + 1) \cdot 3 + 1) \cdot 3 + 2) \cdot 3 + 1 = 286 \ (286_{10})

Pārveidošana no decimālās sistēmas[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kaut kādā ziņā par pretējo darbību skaitļa pieraksta bāzē, kas nav 10, vērtības atrašanai var uzskatīt skaitļa pieraksta pārveidošanu no decimālās sistēmas uz kādu citu. To dara, skaitli (veselo dalījumu) atkārtoti dalot ar vajadzīgo bāzi b, kā skaitļa jauno pierakstu bāzē b ņemot iegūto atlikumu virkni (no otra gala).

Piemērs[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kā pārveidot 140 uz četrinieku skaitīšanas sistēmu. Rezultātā iegūstam: 140_{10} = 2030_4

Dalāmais Atlikums
140 0
35 3
8 0
2 2
0

Kāpēc šis paņēmiens darbojas, var vieglāk redzēt, ja uzraksta šādi (un ievēro pirmīt norādīto vērtības aprēķināšanas otro variantu):

{\color {red} 140} = \
{\color {red} 35} \ \left . \cdot 4 + 0 \right .
\left ({\color {red} 8} \right . \left . \cdot 4 + 3 \right ) \left . \cdot 4 + 0 \right .
\left ( \left ({\color {blue} 2} \right . \right . \left . \cdot \mathbf {4} + {\color {blue} 0} \right ) \left . \cdot \mathbf {4} + {\color {blue} 3} \right ) \left . \cdot \mathbf {4} + {\color {blue} 0} \right .