Bāze (lineārā algebra)

Dekarta koordinātu sistēmas bāzes vektoru $(1,0)$ un $(0,1)$ lineārā kombinācija veido trešo vektoru: $-2\cdot (1,0)+1\cdot (0,1)=(-2,1)$

Bāze lineārajā algebrā ir mazākā vektoru kopa, ar kuru lineāro kombināciju var iegūt jebkuru citu vektoru apskatītajā telpā. Citiem vārdiem, tā ir tāda vektoru sistēma, ka visi sistēmas vektori ir lineāri neatkarīgi viens no otra (tādēļ tā arī ir mazākā vektoru kopa) un šo vektoru veidotajā telpā jebkuru vektoru var lineāri izteikt ar šiem vektoriem. Dimensiju jēdziens ir tādā veidā saistīts ar bāzi, ka kādas telpas bāzes vektoru skaitu sauc par šīs telpas dimensiju.

Definīcija

Par bāzi lineārā telpā $L$ sauc vektoru kopu ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n}$, ja izpildās nosacījumi:

1. Vektori ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n}$ ir lineāri neatkarīgi
2. Jebkuru vektoru ${\vec {x}}\in L$ var lineāri izteikt ar ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n}$, jeb

${\vec {x}}=\alpha _{1}{\vec {e}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {e}}_{2}+...+\alpha _{n}{\vec {e}}_{n}$

Piemērs

Telpā $V$ jebkuri trīs nekomplanāri vektori (neatrodas vienā plaknē) ir lineāri neatkarīgi, bet jebkuri četri vektori ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}},{\vec {d}}$ vienmēr ir lineāri atkarīgi un eksistē tādi reāli skaitļi $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$, ka izpildās ${\vec {d}}=\alpha _{1}{\vec {a}}+\alpha _{2}{\vec {b}}+\alpha _{3}{\vec {c}}$. Līdz ar to iegūst, ka

• Telpas $V$ bāze ir jebkuri trīs nekomplanāri vektori
• Telpas $V$ dimensija ${\text{dim}}(V)=3$

Unitātes īpašība

Vienu un to pašu vektoru var izteikt divās dažādās bāzēs

Ja ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n}$ ir lineāras telpas $L$ bāze, tad jebkuru vektoru ${\vec {x}}\in L$ tikai vienā vienīgā veidā var izteikt ar šiem bāzes vektoriem: ${\vec {x}}=\alpha _{1}{\vec {e}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {e}}_{2}+...+\alpha _{n}{\vec {e}}_{n}$

Pierādījums

Pieņemsim, ka šo patvaļīgo vektoru var izteikt citādi ar koeficientiem $\beta _{1},\beta _{2},...,\beta _{n}$, ka ${\vec {x}}=\beta _{1}{\vec {e}}_{1}+\beta _{2}{\vec {e}}_{2}+...+\beta _{n}{\vec {e}}_{n}$, bet tad būtu jāizpildās vienādojumam $\alpha _{1}{\vec {e}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {e}}_{2}+...+\alpha _{n}{\vec {e}}_{n}=\beta _{1}{\vec {e}}_{1}+\beta _{2}{\vec {e}}_{2}+...+\beta _{n}{\vec {e}}_{n}$, jeb $(\alpha _{1}-\beta _{1}){\vec {e}}_{1}+(\alpha _{2}-\beta _{2}){\vec {e}}_{2}+...+(\alpha _{n}-\beta _{n}){\vec {e}}_{n}={\vec {0}}$. Tā kā bāzes vektori ir lineāri neatkarīgi, tad vienādība izpildās tikai, ja $\alpha _{1}=\beta _{1},\ \alpha _{2}=\beta _{2},\ ...,\alpha _{n}=\beta _{n}$, tātad vektoru var izteikt vienā vienīgā veidā.

Vektora koordinātas

Ja vektors ${\vec {x}}$ ir izteikts ar bāzes vektoriem: ${\vec {x}}=\alpha _{1}{\vec {e}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {e}}_{2}+...+\alpha _{n}{\vec {e}}_{n}$, tad skaitļus $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ sauc par vektora ${\vec {x}}$ koordinātām šajā bāzē. Šo koeficientu vērtības nevar mainīt vietām un iegūt ekvivalentu rezultātu, secība ir svarīga. Darbības ar vektoriem vienā un tajā pašā bāzē var reducēt uz darbībām ar vektoru koordinātām, balstoties uz īpašībām:

1. ${\vec {x}}={\vec {0}}$ tad un tikai tad, ja visas koordinātas ir nulle, ${\vec {x}}=(0,0,...,0)$
2. ${\vec {x}}={\vec {y}}$ izpildās tad un tikai tad, ja katra vektora atbilstošās koordinātas sakrīt. Ja ${\vec {x}}=\alpha _{1}{\vec {e}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {e}}_{2}+...+\alpha _{n}{\vec {e}}_{n}$ un ${\vec {y}}=\beta _{1}{\vec {e}}_{1}+\beta _{2}{\vec {e}}_{2}+...+\beta _{n}{\vec {e}}_{n}$, tad vienādība izpildās, ja $\alpha _{1}=\beta _{1},\ \alpha _{2}=\beta _{2},\ ...,\alpha _{n}=\beta _{n}$.
3. Divu vektoru summa ir tas pats, kas koordinātu summēšana. ${\vec {x}}+{\vec {y}}=(\alpha _{1}+\beta _{1}){\vec {e}}_{1}+(\alpha _{2}+\beta _{2}){\vec {e}}_{2}+...+(\alpha _{n}+\beta _{n}){\vec {e}}_{n}$, jeb ${\vec {x}}+{\vec {y}}=(\alpha _{1}+\beta _{1},\alpha _{2}+\beta _{2},...,\alpha _{n}+\beta _{n})$
4. Vektoru reizinot ar skaitli, katru koordinātu reizina ar šo skaitli. $a\cdot {\vec {x}}=(a\cdot \alpha _{1},a\cdot \alpha _{2},...,a\cdot \alpha _{n})$