Eilera metode

Eilera metodes ilustrācija — tā pieņem, ka funkcija ir taisne kādam laika solim $\Delta t$, pēc kura metode izmanto citu slīpumu un vēlreiz pieņem, ka funkcija ir taisne

Eilera metode ir skaitlisks paņēmiens, kā atrisināt parastos diferenciālvienādojumus (ODE), ja ir dots sākumnosacījums. Šī ir pirmās kārtas metode, jo tās globālā kļūda (kas rodas katrā aprēķina soli) ir tieši proporcionāla laika solim $GTE\propto \Delta t$. Tā ir visvienkāršākā no neapslēptajām metodēm (nākamā soļa vērtību var izteikt) un vienkāršākā Runges—Kuttas metode. Eilera metode kalpo kā pamats, no kura veidotas citas skaitliskās metodes. Šī metode ir nosaukta Leonarda Eilera vārdā.

Ģeometriskā interpretācija

Apskatām problēmu, ka tiek meklēta nezināma funkcija, pie nosacījuma, ka tiek dots sākumnosacījums, un tas, ka nezināmā funkcija apmierina zināmu diferenciālvienādojumu (pirmās kārtas ODE gadījumā $y'(x)=f(y(x),x)$). Šo ODE var interpretēt kā formulu, pēc kuras aprēķināt taisnes slīpumu katrā punktā. Tas ir noderīgi, jo jebkura funkcija pietiekami mazos mērogos izskatās pēc taisnes. Līdz ar to pārejot no sākumpunkta $A_{0}$ un nākamo punktu $A_{1}$ nebūs ļoti nost no meklētās funkcijas, ja solis ir pietiekami neliels. Šāds algoritms sniegs daudzstūrainu līkni $(A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}...)$.

Pirmās kārtas pieeja

Atkal, ja doti sākumnosacījumi $t_{0}$ un $y(t_{0})$, kā arī atvasinājuma funkcija $y'(t)$, tad, lai iegūtu nākamo funkcijas vērtību izvēlās nelielu laika soli $\Delta t$, pēc kura iegūst nākamo laika vērtību $t_{n+1}=t_{n}+\Delta t$. Tad Eilera metode pēc kuras iegūst nākamo funkcijas vērtību

$y_{n+1}=y_{n}+y'_{n}\cdot \Delta t$

Vērtība $y_{n}$ ir aptuvenais atrisinājums laika momentā $t_{n}$, jeb $y_{n}\approx y(t_{n})$. Eilera metode ir atklāta, kas nozīmē nākamo vērtību$y_{n+1}$ var izteikt vienā vienādojuma pusē un otrā pusē ir tikai iepriekšējās vērtības.

Pirmās kārtas piemērs

Dažādu laika soļu piedāvāto atrisinājumu salīdzinājums diferenciālvienādojumam $v'=-g-{\frac {k}{m}}v$. Lieliem laika soļiem atrisinājums kļūst nefizikāls un nestabils.

Apskatīsim daļiņas ātrumu, uz kuras darbojas gravitācijas spēks un berzes spēks, kas proporcionāls ātrumam. Pēc 2.Ņūtona likuma diferenciālvienādojums izskatītos šādi:

$m{\frac {dv}{dt}}=-mg-kv$, kur $m$ ir daļiņas masa, $v$ ir daļiņas ātrums, $g$ ir brīvās krišanas paātrinājums, $k$ ir proporcionalitātes koeficients.

Izsakot ātruma atvasinājumu iegūst: $v'=-g-{\frac {k}{m}}v$. Šo var izrisināt skaitliski ar Eilera metodi. Var tabulā salīdzināt laika soļus, piemēram, $\Delta t=1$ un $\Delta t=2$. Piemēra labad, var pieņemt $g=9.81$ un ${\frac {k}{m}}=0.1$, tad iegūstam nākamo ātruma vērtību pēc formulas $y_{n+1}=y_{n}+y'_{n}\cdot \Delta t$:

t, s	$v(\Delta t=1)$	$v(\Delta t=2)$
0	0	0
1	$-g=-9.81$	0
2	$-g-{\frac {k}{m}}\cdot (-g)=-1.9g\approx -18.6$	$-2g\approx -19.6$
3	$-1.9g-{\frac {k}{m}}\cdot (-1.9g)=-2.71g\approx -26.6$	$-2g\approx -19.6$
4	$-2.71g-{\frac {k}{m}}\cdot (-2.71g)=-3.439g\approx -33.7$	$-2g+(-g-{\frac {k}{m}}\cdot (-2g))\cdot 2=-3.6g\approx -35.3$
...	...	...
20	$-86.1733...$	$-87.5666...$
...	...	...
80	$-98.0786...$	$-98.0870...$

Kā redzams, atrisinājumi atšķiras, bet beigās tā pat nonāk apmēram pie tās pašas vērtības. Šim diferenciālvienādojumam ir arī analītisks atrisinājums $v(t)=e^{-{\frac {k}{m}}t}-{\frac {m\cdot g}{k}}$, tā kā šo piemēra iegūtos rezultātus var salīdzināt ar analītisko risinājumu.

Eilera metode augstākām kārtām

Eilera metode strādā arī augstākām diferenciālvienādojumu kārtām par pirmo, ja ir iespējams izteikt augstākāko atvasinājumu. Ja augstākā pakāpe ir neapslēpta, to pārraksta kā sistēmu ar pirmās kārtas diferenciālvienādojumiem. Piemēram, augstāk apskatītajā piemēra varētu meklēt daļiņas atrašanās vietu, nevis ātrumu, tad diferenciālvienādojums izskatītos šādi: $y''=-g-{\frac {k}{m}}y'$. Ar apzīmēšanu varam iegūt vienādojumu sistēmu:

${\begin{aligned}y'=v\\y''=v'=-g-{\frac {k}{m}}v\end{aligned}}$ , tagad katrā solī var izmantot Eilera metodi: ${\begin{aligned}y_{n+1}=y_{n}+v_{n}\cdot \Delta t\\v_{n+1}=v_{n}+\left(-g-{\frac {k}{m}}v_{n}\right)\cdot \Delta t\end{aligned}}$.

Izvedums

Eilera metodi var iegūt vairākos veidos. Viens veids ir apskatot Teilora rindu funkcijai $y$ ap punktu $t_{0}$:

$y(t_{0}+\Delta t)=y(t_{0})+y'(t_{0})\cdot \Delta t+{\frac {y''(t_{0})}{2}}\cdot \Delta t^{2}+O(\Delta t^{3})$

Ja ņem vērā tikai pirmos divus Teilora rindas locekļus, iegūst Eilera metodi.

Vēl Eilera metodi var iegūt, izmantojot galīgus skaitļus atvasinājuma definīcijā: $y'(t_{0})\approx {\frac {y(t_{0}+\Delta t)-y(t_{0})}{\Delta t}}$, pārkārtojot iegūt Eilera metodi.

Citas Eilera metodes

Eilera metodes un Eilera-Kromera metožu salīdzinājums atsperes svārstam. Eilera-Kromera metode apmēram saglabā enerģiju ar nelielām svārstībām, turpretim Eilera metode tikai palielina sistēmas enerģiju.

Pastāv arī atpakaļ vērstā Eilera metode, centrālā Eilera metode un Eilera-Kromera metode. Atpakaļ vērstā Eilera metode ir ievērojama ar to, ka tā vienmēr konverģē (ja pēc pietiekami ilga laika atrisinājums vairs nemainās, šī metode to atspoguļos). Centrālā Eilera metode ir ievērojama ar to, ka tā apvieno parasto (uz priekšu vērsto Eilera metodi) ar atpakaļ vērsto, lai kļūdas kārtu šai metodei. Eilera-Kromera metode ir ievērojama ar to, ka tā dažiem diferenciālvienādojumiem saglabā enerģiju (citas Eilera metodes, Runges-Kuttas metodes to nesaglabā).

Atpakaļ vērstā Eilera metode

Teilora rinda tiek apskatīta no cita skatpunkta- kad no nākotnes vērtības iet atpakaļ uz pagātnes vērtību:

$y(t_{0}-\Delta t)=y(t_{0})-y'(t_{0})\cdot \Delta t+{\frac {y''(t_{0})}{2}}\cdot \Delta t^{2}-{\frac {y'''(t_{0})}{6}}\Delta t^{3}+O(\Delta t^{4})$, jeb apskatot iteratīvā pierakstā un atmetot otrās un augstāku kārtu locekļus:

$y_{n}=y_{n+1}-y'_{n+1}\longrightarrow y_{n+1}=y_{n}+y'_{n+1}$. Tā ir apslēpta metode, jo lai aprēķinātu nākamo vērtību $y_{n+1}$ nepietiek ar pagātnes vērtībām ($_{n},\ _{n-1},\ _{n-2}$...), jo nepieciešams zināt nākamo ātrumu $y'_{n+1}$.

Centrālā Eilera metode

Apskatot parasto un atpakaļ vērsto Eilera metodes Teilora rindas:

$y(t_{0}+\Delta t)=y(t_{0})+y'(t_{0})\cdot \Delta t+{\frac {y''(t_{0})}{2}}\cdot \Delta t^{2}+{\frac {y'''(t_{0})}{6}}\cdot \Delta t^{3}+O(\Delta t^{4})$

$y(t_{0}-\Delta t)=y(t_{0})-y'(t_{0})\cdot \Delta t+{\frac {y''(t_{0})}{2}}\cdot \Delta t^{2}-{\frac {y'''(t_{0})}{6}}\Delta t^{3}+O(\Delta t^{4})$

Parastajai Eilera metodei var atņemt atpakaļ vērsto un iegūt:

$y(t_{0}+\Delta t)-y(t_{0}-\Delta t)=2y'(t_{0})+2{\frac {y'''(t_{0})}{6}}\Delta t^{3}+O(\Delta t^{5})$, atmetot trešās un augstāku kārtu locekļus un pārrakstot iteratīvajā pierakstā iegūst:$y_{n+1}-y_{n-1}=2y'_{n}\longrightarrow y_{n+1}=y_{n-1}+2y'_{n}$. Šī ir otrās kārtās metode $GTE\propto \Delta t^{2}$, jo tiek atmesti augstāki locekļi nekā parastajā Eilera metodē.

Eilera-Kromera metode

Eilera-Kromera metodei ir divi varianti- ātrums vai pozīciju ņem nākotnes vērtības vērā:

${\begin{cases}y_{n+1}=y_{n}+g(t_{n},y'_{n})\Delta t\\y'_{n+1}=y'_{n}+f(t_{n},y_{n+1})\Delta t\\\end{cases}}\ \ {\text{vai}}\ \ {\begin{cases}y'_{n+1}=y'_{n}+f(t_{n},y_{n})\Delta t\\y_{n+1}=y_{n}+g(t_{n},y'_{n+1})\Delta t\end{cases}}$

Šī metode ir pirmās kārtas un atsevišķiem diferenciālvienādojumiem ar svārstībām saglabā enerģiju. Tomēr, ja šīs divas formulas ņem pamīšus, tad tā ir kā Verlē metode ar divkāršu divkāršu laika soli (otrās kārtas metode). Šo metodi ir labāk izmantot priekš Hamiltoniānām sistēmām.