Fermā teorēma par stacionārajiem punktiem

Fermā teorēma ir teorēma matemātiskajā analīzē, kas apgalvo, ka atvasināmas funkcijas lokālajos ekstrēmos tās atvasinājums ir vienāds ar 0. Tā nosaukta par godu franču matemātiķim Pjēram Fermā.

Precīzāka matemātiska definīcija ir šāda — aplūkosim funkciju $f$, kas ir definēta vaļējā intervālā $(a,b)$ un pieņem reālas vērtības, un pieņemsim, ka $x_{0}$ ir intervāla $(a,b)$ iekšējs punkts, kā arī šajā punktā funkcija $f$ pieņem savu lielāko vai mazāko vērtību intervālā $(a,b)$. Ja funkcijai $f$ eksistē atvasinājums punktā $x_{0}$, tad $f'(x_{0})=0$.

Izmantojot Fermā teorēmu, ir iespējams atrast potenciālos funkcijas ekstrēmus, veicot atvasināšanu — funkcijas ekstrēmos tās atvasinājums ir vienāds ar 0, tas neeksistē, vai arī tas ir aplūkotā intervāla robežpunkts. Jāņem vērā, ka Fermā teorēma dod tikai nepieciešamo, bet ne pietiekamo nosacījumu ekstrēmu esamībai — izliekuma punktos funkcijas atvasinājums pieņem vērtību 0, tomēr šie punkti nav ne maksimumi, ne minimumi.

Pierādījums

Pieņemsim, ka $x_{0}$ ir lokāls maksimums (pierādījums lokāla minimuma gadījumā ir analoģisks). Tādā gadījumā eksistē punkta $x_{0}$ apkārtne, kurā $f(x_{0})\geq f(x)$ visiem $x$ šajā apkārtnē. Ja $x>x_{0}$, tad ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ ir nepozitīvs visiem $x$ šajā apkārtnē. Tas nozīmē, ka $$\lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\leq 0.$$ Līdzīgi, ja $x<x_{0}$, tad ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ ir nenegatīvs un $$\lim _{x\rightarrow x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\geq 0.$$ Tā kā $f$ ir atvasināma funkcija, aplūkotajām robežām ir jābūt vienādām ar $f'(x_{0})$. Tas ir iespējams tikai tad, kad abas robežas ir vienādas ar 0, līdz ar to $f'(x_{0})=0$.