Kodols (lineārā algebra)

Ilustrācija kodola un attēla jēdzieniem: kodols ir tie vektori telpā $V$, kas tiek attēloti kā nulles vektori ${\vec {0}}$ telpā $W$. Savukārt, attēls ir tie vektori, kas ir iespējami no vektoru telpas $V$ pārejot uz vektortelpu $W$ caur operatoru $f$.

Kodols lineārajā algebrā ir lineāra operatora $f:V\rightarrow W$visu vektoru telpas $V$ vektoru kopu, kurus operators $f$ attēlo par nulles vektoru. Kā vektoru kopa tā pierakstās kā: ${\text{ker}}\ f=\{{\vec {x}}\in V|f({\vec {x}})={\vec {0}}\in W\}$. Saistīts jēdziens ir lineāra operatora attēls, kas ir vektortelpas $W$ vektoru kopa, katrs no kuriem ir vismaz viena telpas $V$ vektora pirmattēls/oriģināls (t.i. vismaz viens ievades vektors/pirmattēls/oriģināls no vektora telpas $V$ operatorā $f$ tiek kartēts/attēlots telpā $W$). Kā vektoru kopa tā pierakstās kā: ${\text{Im}}\ f=\{{\vec {y}}\in W|f({\vec {x}})={\vec {y}},{\vec {x}}\in V\}$.

Piemērs

Piemērs kodolam- lineāram operatoram $(x,y)\mapsto (x,x)$ visi punkti uz līnijas $(x=0,y)$ tiek projecēti uz nulles punktu $(0,0)$, jeb tie veido lineārā operatora kodolu.

Ja lineārs operators vienu galīgas dimensijas vektortelpu attēlo citā galīgas dimensijas vektortelpā, tad lineāro operatoru var pierakstīt matricas formā: $f:V\rightarrow W$ var pierakstīt kā ${\mathbf {A}}{\vec {v}}={\vec {w}}$. Šīs matricas koeficientu būs atkarīgi no bāzes vektoriem. Apskatīsim vienu lineāra operatora/matricas piemēru:

${\mathbf {A}}={\begin{pmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{pmatrix}}$

Šī lineārā operatora/matricas kodolu veido visi vektori $(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$, kuriem izpildās vienādojums:

${\begin{pmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$, šo var pārrakstīt kā vienādojumu sistēmu${\begin{alignedat}{3}2x+3y+5z=0,\\-4x+2y+3z=0.\end{alignedat}}$, ko var atrisināt, piemēram, ar Gausa izslēgšanas metodi: $\left({\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right)$, no kā iegūst $\left({\begin{array}{ccc|c}1&0&0.625&0\\0&1&1.625&0\end{array}}\right)$, jeb kā vienādojumu sistēma tā ir ${\begin{alignedat}{3}x=-0.625z\\y=-1.625z\end{alignedat}}$. Tā kā ir 3 nezināmie un 2 vienādojumi, kādu no mainīgajiem ir jāaizstāj ar parametru. Aizstājot $z=c$ iegūst, ka oriģinālās matricas kodols ir ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=c{\begin{pmatrix}-0.625\\-1.625\\1\end{pmatrix}}$, kam, ja ņem šī vektora lineāro čaulu, ģeometriskā interpretācija ir tāda, ka vesela taisne tiek attēlota kā nulles vektors ${\vec {0}}$ pārejot no vienas vektortelpas uz citu vektortelpu.