Lineārs diferenciālvienādojums

Lineārs diferenciālvienādojums ir diferenciālvienādojums formā $a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)$. To var arī aprakstīt kā lineāru kombināciju ar n-kārtas atvasinājumiem. Šīs lineārās kombinācijas tiek pareizinātas ar funkcijām $a_{0}(x),a_{1}(x),...a_{n}(x)$, kurām nav obligāti jābūt lineārām. Visbeidzot šīs lineārās kombinācijas ir vienādas arī ar patvaļīgu funkciju $b(x)$. Ja $b(x)=0$, tad tas kļūst par homogēnu diferenciālvienādojumu.

Lineāri homogēns vienādojums ar konstantiem koeficientiem

Diferenciālvienādojums ir lineāri homogēns vienādojums ar nemainīgiem koeficientiem, ja tam ir forma: $a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0$, kur $a_{0}(x),a_{1}(x),...a_{n}(x)$ ir reāli vai kompleksi skaitļi. Tālāk var ieviest lineāra operatora jēdzienu.

Lineārs diferenciāloperators

Ieviešot diferenciāloperatoru formā: $L=a_{0}+a_{1}{\frac {d}{dx}}+a_{2}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+...+a_{n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}$ (tas ir lineārs, jo izpildās abas linearitātes īpašības, ka $L(f(x)+g(x))=L(f(x))+L(g(x))$ un $L(\lambda \cdot f(x))=\lambda \cdot L(f(x))$).

Izmantojot šo jēdzienu, lineāri nehomogēno vienādojumu var pierkastīt kā:

$Ly=b(x)$, un speciālgadījumā $b(x)=0$ vienādojums kļūst homogēns $Ly=0$, kas atbilst lineārā operatora kodolam.

Atrisinājums lineāri homogēnam vienādojumam ar konstantiem koeficientiem

Atgriežoties pie lineāri homogēna vienādojuma ar konstantiem koeficientiem: $a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0$, ir vērtīgi apskatīt eksponentfunkciju $e^{x}$, kas ir unikālais atrisinājums diferenciālvienādojumam $f'(x)=f(x)$ un $f(x=0)=1$. No šī seko, ka n-tais atvasinājums funkcijai $f(x)=e^{\alpha x}$ ir $f^{(n)}(x)=\alpha ^{n}e^{\alpha x}$. Meklējot atrisinājumus šādā eksponenciālā formā ļauj atrisināt homogēnus, lineārus diferenciālvienādojumus kaut cik viegli. Tiks meklēti atrisinājumi formā $e^{\alpha x}$- ievietojot vienādojumā iegūst:

$a_{0}e^{\alpha x}+a_{1}\alpha e^{\alpha x}+a_{2}\alpha ^{2}e^{\alpha x}+\cdots +a_{n}\alpha ^{n}e^{\alpha x}=0$, izdalot abas puses ar $e^{\alpha x}$ (kas pie reāliem $x$ funkcija $e^{\alpha x}$ nav nulle) iegūst raksturīgo vienādojumu:

$a_{0}+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}+\cdots +a_{n}\alpha ^{n}=0$

Ja visas saknes ir unikālas, tad iegūst n lineāri neatkarīgus risinājumus, kas nav obligāti reāli, var būt arī kompleksi. Kopā šie atrisinājumi veido risinājumu vektortelpas bāzi, jeb diferenciāloperatora kodolu.

Ja raksturīgajam polinomam saknes nesakrīt, tad rodas pilna atrisinājumu vektoru telpa. Ja kādas saknes sakrīt, tad iegūst papildus lineāri neatkarīgos atrisinājumus un tiem ir forma $x^{k}e^{\alpha x}$, kur $k$ ir naturāls skaitlis, $\alpha$ ir risinājuma sakne ar $m$ sakrītošām saknēm un izpildās nosacījums $k<m$.

Atrisinājuma piemērs

Apskatītā piemēra atrisinājuma grafiks pie dažādiem koeficientiem

Vienādojumam $y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0$ meklējot atrisinājumus eksponenciālajā formā $y=A\cdot e^{\alpha x}$ un ieveitot diferenciālvienādojumā: $A\alpha ^{4}e^{\alpha x}-2A\alpha ^{3}e^{\alpha x}+2A\alpha ^{2}e^{\alpha x}-2A\alpha e^{\alpha x}+Ae^{\alpha x}=0$. Var izdalīt ar $A(A\neq 0),e^{\alpha t}(e^{\alpha t}\neq 0)$ un iegūt raksturīgo polinomu: $\alpha ^{4}-2\alpha ^{3}+2\alpha ^{2}-2\alpha +1=0$. Šim atrisinājumam ir saknes $\alpha =i,-i,1\ ({\text{2 reizes}})$ kur $i={\sqrt {-1}}$ ir imaginārā vienība. Būt vienādojuma saknēm nozīmē, ka raksturīgo polinomu var pārrakstīt formā $(\alpha -i)(\alpha +i)(\alpha -1)(\alpha -1)=0$. Saknēm, kas neatkārtojas, veidos atrisinājuma bāzi $e^{ix},e^{-ix}$. Saknēm, kuras atkārtojas, ir papildus soļi jāveic, lai iegūtu to veidoto bāzi. Apskatīsim diferenciālvienādojumu, ja būtu tikai šī divkāršā sakne $\alpha =1$:

$y''-2y'+y=0$, ieviesīsim lineāru diferenciāloperatoru $D={\frac {d}{dx}}$. To ir noderīgi ieviest, jo tagad diferenciālvienādojumu var pārrakstīt formā $(D-1)^{2}y=0$, apzīmējot $(D-1)y=u$, kur $u$ ir jauna funkcija iegūst vienādojumu: $(D-1)u=0$, jeb ${\frac {du}{dx}}-u=0$, kam atkal var meklēt ekponenciālo formu $u=A\cdot e^{\beta x}$, kur šoreiz $\beta =1$, tātad $u=A\cdot e^{x}$. Ievietojot šo funkciju substitūcijas vienādojumā iegūst: $(D-1)y=Ae^{x}$, jeb ${\frac {dy}{dx}}-y=Ae^{x}$, pareizinot abas puses ar $e^{-x}$ un pārvēršot kreiso pusi par atvasinājumu iegūst: $\left(y\cdot e^{-x}\right)'=A$, integrējot abas pēc $x$ iegūst: $y\cdot e^{-x}=Ax+B$, izsakot meklēto funkciju iegūst: $y=Axe^{x}+Be^{x}$. Tātad atrisinājums būs šo atrisinājuma bāžu superpozīcija: $y=Axe^{x}+Be^{x}+Ce^{ix}+De^{-ix}$. Imaginārās eksponentes var pārveidot un iegūt atrisinājumu: $y=Axe^{x}+Be^{x}+C\sin(x)+D\cos(x)$.