Menelaja teorēma

Vikipēdijas lapa
Jump to navigation Jump to search
Menelaja teorēma, 1.gadījums: taisne DEF krusto trijstūri ABC

Menelaja teorēma, nosaukta par godu Menelajam no Aleksandrijas, ir teorēma par trijstūri Eiklīda ģeometrijā. Ja dots trijstūris ABC, un krustiska taisne, kura krusto BC, AC, un AB attiecīgi punktos D, E, un F, un punkti D, E, and F nesakrīt ar A, B, un C, tad

jeb

Šajā vienādojumā tiek lietoti attiecīgo nogriežņu segmenti, citiem vārdiem sakot, garums AB var būt gan pozitīvs, gan negatīvs, atkarībā no tā vai A ir pa labi, vai pa kreisi no B. Piemēram, AF/FB būs pozitīvs, ja F atradīsies starp A un B, un negatīvs, ja atradīsies ārpus nogriežņa AB.

Eksistē apgrieztā teorēma: Ja punkti D, E, un F tiek izvēlēti attiecīgi uz BC, AC, un AB tā, lai :

tad D, E, un F ir kolineāri, jeb atrodas uz vienas taisnes.

Teorēma ir ļoti līdzīga Čevī teorēmai. To vienādojumi atšķiras tikai nedaudz.

Pierādījums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Menelaja teorēma, 2. gadījums: taisne DEF pilnībā atrodas ārpus trijstūra ABC

Standarta pierādījums[1][labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pirmkārt, vienādojuma kreisā puse būs negatīva tikai tad, ja:

1) visi reizinātāji būs negatīvi (tas būs gadījumā, ja DEF vispār nekrustos trijstūra malas),

2) vismaz viens reizinātājs būs negatīvs un pārējie divi būs pozitīvi (tas būs gadījumā, kad DEF krustos divas trijstūra malas)

Lai pārbaudītu attiecību, konstruē perpendikulus no trijstūra virsotnēm A, B, un C uz taisnes DEF ar garumiem attiecīgi a, b, un c. Tad pēc līdzīgiem trijstūriem sanāk: |AF/FB| = |a/b|, |BD/DC| = |b/c|, un |CE/EA| = c/a. Tātad

Lai vienkāršāk pārbaudītu vienādības attiecību[2], zīmē CK paralēlu AB, kur DEF krustojas ar CK punktā K. Tad izmantojot līdzīgus trijstūrus:

un rezultātu iegūst, izslēdzot CK no šī vienādojuma.

Apgrieztās teorēmas pierādījums izriet no iepriekš secinātā.[3] Ļausim D, E, un F atrasties uz taisnēm BC, AC, un AB tā , lai vienādība būtu patiesa. Ar F′ apzīmēsim punktu, kur DE krusto AB. Tad pēc teorēmas, vienādojums ir patiess arī priekš punktiem D, E, un F′. Salīdzinot abus:

Tikai viens punkts var sadalīt segmentu vajadzīgajā attiecībā. Tātad F=F′.

Pierādījums, izmantojot homotētiju[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Sekojošajā pierādījumā [4] tiek izmantoti dažādi jēdzieni par afīno ģeometriju, bet jo īpaši homotētiju.

Neatkarīgi no tā vai D, E, un F ir kolineāri, pastāv trīs homotētijas ar centriem D, E, F, kuras attiecīgi pārveido B par C, C par A, un A par B. Šo triju kompozīcija ir homotētijas pārveidojumu grupas elements, kurš nofiksē punktu B, tātad tā ir homotētija ar centru B, ar iespējamo attiecību 1 (kura gadījumā tā ir identitāte). Šī kompozīcija nofiksē taisni DE tad un tikai tad, ja F ir kolineārs ar D un E (tāpēc, ka pirmās divas homotētijas noteikti fiksē DE, un trešā tikai tad, ja F atrodas uz DE). Tāpēc D, E, un F ir kolineāri tad un tikai tad, ja šī kompozīcija ir identitāte, kas nozīmē, ka šo triju attiecība ir vienāda ar 1:

kas ir ekvivalents ar doto vienādojumu.

Vēsture[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Īsti nav zināms, kurš patiesībā atklājis šo teorēmu, kaut gan vissenākais avots, kas ir saglabājies, ir Spherics, ko uzrakstījis Menelajs. Šajā grāmatā ir redzama vienkāršota versija, kas lietota kā pierādījums sfēriskai šīs teorēmas versijai.[5]

"Almagest" tekstā, Ptolemajs lieto šo teorēmu vairākām problēmām, kas skar sfērisko astronomiju.[6] Islāma zelta gados musulmaņu zinātnieki veltīja vairākus darbus par Menelaja teorēmu, kuros atsaucās uz teorēmu par sekantēm (shakl al-qatta'). Al-Biruni darbs The Keys of Astronomy, kas satur vairākus no šiem darbiem, varētu tikt klasificēts studijās kā daļa no komentāriem par Ptolemaja "Almagest". Tāpat arī al-Nayrizi un al-Khazin darbos, kuri katrs demonstrē atsevišķus Menelaja teorēmas gadījumus, kuri norāda uz sinusu teorēmu[7] vai darbiem, kas radīti kā atsevišķi traktāti, piemēram:

  • "Traktāts par Sekantes Figūrām" (Risala fi shakl al-qatta'), ko uzrakstījis Thabit ibn Qurra.[6]
  • Husama al-Din al-Salarasa darbs "Noņemot plīvuru no sekantes figūru mistērijām" (Kashf al-qina' 'an asrar al-shakl al-qatta'), zināms arī kā "Grāmata par sekantes figūrām" (Kitab al-shakl al-qatta'), vai arī Eiropā pazīstams kā "The Treatise on the Complete Quadrilateral". Pazudušie traktāti tiek piedēvēti al-Tusi un Nasir al-Din al-Tusi.[6]
  • Darbs, ko uzrakstījis al-Sijzi.[7]
  • Tahdhib, ko uzrakstījis Abu Nasr ibn Iraq.[7]
  • Roshdi Rashed un Athanase Papadopoulos, "Menelaja Sfēras": Agrākie tulkojumi un al-Mahani'/al-Harawisa versija (Menelaja sfēras arābu manuskriptos ar vēsturiskiem un matemātiskiem komentāriem), De Gruyter, Sērija: Scientia Graeco-Arabica, 21, 2017, 890 lappuses. ISBN 978-3-11-057142-4

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. John Wellesley Russell. «Ch. 1 §6 "Menelaus' Theorem"». Pure Geometry. Clarendon Press, 1905.
  2. Skatīt George Irving Hopkins. «Art. 983». Inductive Plane Geometry. D.C. Heath & Co., 1902.
  3. Russel pierādījums ar dažiem vienkāršojumiem
  4. Skatīt: Michèle Audin, Géométrie, éditions BELIN, Paris 1998: indication for exercise 1.37, p. 273
  5. D.E. Smith. History of Mathematics II. Courier Dover Publications, 1958. 607. lpp. ISBN 0-486-20430-8.
  6. 6,0 6,1 6,2 Roshdi Rashed. Encyclopedia of the history of Arabic science 2. London : Routledge, 1996. 483. lpp. ISBN 0-415-02063-8.
  7. 7,0 7,1 7,2 Moussa, Ali (2011). "Mathematical Methods in Abū al-Wafāʾ's Almagest and the Qibla Determinations". Arabic Sciences and Philosophy (Cambridge University Press) 21 (1). doi:10.1017/S095742391000007X.

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]