Nēteres teorēma

Teorēma nosaukta Emmijas Nēteres vārdā

Nēteres teorēma apgalvo, ka jebkurā fizikālā sistēmā, kurā iedarbojas tikai konservatīvi spēki (kas rodas no potenciālās enerģijas izmaiņas), nepārtraukta simetrija akcijai atbildīs saglabāšanās likumam. Fizikālas sistēmas akcija ir Lagranža funkcijas integrālis no laika, no kura var iegūt sistēmas kustību caur mazāko akcijas principu. Šī teorēma nav spēkā, ja nepietiek ar lagranžiānu vien (piemēram, sistēmas ar Reilija disipācijas funkciju, pastāv no ātruma atkarīgi berzes spēki).

Simetrijas saglabāšanās likumu piemēri ir, kā translācijas simetrija noved pie impulsa nezūdamības likuma, rotācijas simetrija noved pie impulsa momenta nezūdamības likuma, laika simetrija noved pie enerģijas nezūdamības likuma. Ilustrācijai, ja gravitācijas lauka stiprums mainītos starp dienām, kāds varētu pacelt objektu dienā, kad gravitācija ir vāja, un nolaist to dienā, kad gravitācija ir stipra, tādējādi iegūstot vairāk enerģijas, nekā bija ielikta sistēmā.

Speciālgadījums

Apskatīsim daļiņu, kas pārvietojas pa taisnu līniju ar Lagranža funkciju $L(q,{\dot {q}})$, kur $q$ ir vispārinātā koordināte un ${\dot {q}}={\frac {dq}{dt}}$ (ar punktu virs lieluma apzīmē atvasinājumu pēc laika) ir šīs koordinātes ātrums. Daļiņas impulss tiek definēts kā $p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}$, savukārt spēku definē kā $F={\frac {\partial L}{\partial q}}$. Eilera—Lagranža vienādojumi apgalvo, ka izmaiņas impulsā ir spēks: ${\dot {p}}=F$. Tagad ieviesīsim simetriju lagranžiānam pret parametru $s$, kas speciālgadījumā nozīmē, ka, lai gan $L(q,{\dot {q}})\longrightarrow L(q(s),{\dot {q}}(s))$, lagranžiāns no tā nemainās: ${\frac {d}{ds}}\left(L(q(s),{\dot {q}}(s))\right)=0$.

Ja tā ir, var pierādīt, ka $Q=p\cdot {\frac {dq(s)}{ds}}$, kur $Q$ ir konstante, tas ir ${\dot {Q}}=0$ (šo konstanti $Q$ mēdz saukt par Nēteres lādiņu).

Pierādījums

Paņemam atvasinājumu no laika šim piedāvātajam lielumam, kas saglabājas un aizvietojam impulsa sakarības ar lagranžiānu:

${\dot {Q}}={\dot {p}}\cdot {\frac {dq(s)}{ds}}+p{\frac {d{\dot {q}}(s)}{ds}}\longrightarrow {\frac {\partial L}{\partial q}}\cdot {\frac {dq(s)}{ds}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\cdot {\frac {d{\dot {q}}(s)}{ds}}$. Var ievērot, ka labā vienādojuma puse ir pilnais diferenciālis lagranžiānam atvasinot pēc $s$, pārrakstot iegūst:

${\dot {Q}}={\frac {d}{ds}}(L(q(s),{\dot {q}}(s)))=0$ Q.E.D.

Jāatzīst, ka solis ${\frac {d}{dt}}\left({\frac {dq}{ds}}\right)={\frac {d{\dot {q}}}{ds}}$ jau pieņem, ka simetriskais parametrs $s$ nav atkarīgs no laika.

Speciālgadījuma pielietojumi

Impulsa nezūdamība

Ja apskata brīvu daļiņu (nav potenciālās enerģijas/tā nemainās) 1 dimensijā, iegūst lagranžiānu $L(x,{\dot {x}})={\frac {m{\dot {x}}^{2}}{2}}$. Transformēsim koordināti ar nelielu, nepārtrauktu transformāciju $q=x+s\cdot f(s,t)$, kur $s$ ir parametrs, kuru ņemsim tiecināsim uz nulli $\lim _{s\rightarrow 0}L$. Atvasinot šo transformāciju no laika iegūst: ${\dot {q}}={\dot {x}}+s\cdot {\dot {f}}(s,t)$ (parametrs $s$ nav atkarīgs no laika), ievietojam šo transformēto koordināti jaunajā lagranžiānā:

$L'(q,{\dot {q}})={\frac {m{\dot {q}}^{2}}{2}}={\frac {m({\dot {x}}+s{\dot {f}})^{2}}{2}}={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+2{\dot {x}}s{\dot {f}}+s^{2}{\dot {f}}^{2})\longrightarrow \lim _{s\rightarrow 0}L'={\frac {m{\dot {x}}^{2}}{2}}$. Tā kā $L(x,{\dot {x}})=L'(x',{\dot {x}}')$, tad Nēteres lādiņš saglabājas, jeb $Q=p\cdot {\frac {dq(s)}{ds}}={\frac {dL'}{d{\dot {q}}}}\cdot {\frac {dq}{ds}}=m{\dot {q}}\cdot f=m({\dot {x}}+s{\dot {f}})f$, ievietojot robežu $\lim _{s\rightarrow 0}Q=m{\dot {x}}f$. Ja $f=1$, tad Nēteres lādiņš atbilst impulsa nezūdamībai.

Impulsa momenta nezūdamība

Daļiņai vienmērīgi pārvietojoties pa riņķa līniju impulsa moments saglabājas

Apskatīsim daļiņu, kura var brīvi kustēties pa riņķa līniju $xy$ plaknē. No sākuma var pierakstīt lagranžiānu Dekarta koordinātu sistēmā, tad pāriet uz polāro koordinātu sistēmu: $L(x,{\dot {x}},y,{\dot {y}})={\frac {m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})}{2}}$, ievietojot ar leņķi parametrizētās polārās koordinātes (ja rādiuss ir konstants): $x=R\cdot \cos(\varphi ),\ \ \ y=R\cdot \sin(\varphi )\longrightarrow {\dot {x}}=-R\cdot \sin(\varphi )\cdot {\dot {\varphi }},\ \ \ {\dot {y}}=R\cdot \cos(\varphi )\cdot {\dot {\varphi }}$, no divu mainīgo lagranžiāna iegūst viena mainīgā lagranžiānu -

$L(\varphi ,{\dot {\varphi }})={\frac {m(R^{2}\sin ^{2}(\varphi ){\dot {\varphi }}^{2}+R^{2}\cos ^{2}(\varphi ){\dot {\varphi }}^{2})}{2}}={\frac {mR^{2}{\dot {\varphi }}^{2}}{2}}$. Ņemot nelielu koordinātes transformāciju: $q=\varphi +s\cdot f(s,t),\ \ \ {\dot {q}}={\dot {\varphi }}+s\cdot {\dot {f}}(s,t)$, ievietojot lagranžiānā iegūst:

$L'(q,{\dot {q}})={\frac {mR^{2}{\dot {q}}^{2}}{2}}={\frac {mR^{2}({\dot {\varphi }}+s\cdot {\dot {f}})^{2}}{2}}={\frac {mR^{2}}{2}}({\dot {\varphi }}^{2}+2{\dot {\varphi }}s{\dot {f}}+s^{2}{\dot {f}}^{2})\rightarrow \lim _{s\rightarrow 0}L'={\frac {mR^{2}{\dot {\varphi }}^{2}}{2}}$. Tā kā $L(x,{\dot {x}})=L'(x',{\dot {x}}')$, tad Nēteres lādiņš saglabājas, jeb $Q=p\cdot {\frac {dq(s)}{ds}}={\frac {dL'}{d{\dot {q}}}}\cdot {\frac {dq}{ds}}=mR^{2}{\dot {q}}\cdot f=mR^{2}({\dot {\varphi }}+s{\dot {f}})f$, ievietojot robežu $\lim _{s\rightarrow 0}Q=mR^{2}{\dot {\varphi }}f$. Ja $f=1$, tad Nēteres lādiņš atbilst impulsa momenta nezūdamībai $z$ virzienā.