Perimetrs

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt
Perimetrs ir divdimensionālas figūras apkārtmēra ceļa garums.

Perimetrs (grieķu: περίμετρον, perímetron — ‘apkārtmērs’) ir slēgtas plaknes figūras apkārtmērs. Šo terminu var izmantot vai nu ceļa, vai tās garuma aprakstīšanai - to var uzskatīt par figūras kontūras garumu. Perimetru riņķim vai elipsei, sauc par riņķa līniju.

Perimetra aprēķināšanai ir vairāki praktiskie pielietojumi, piemēram, pagalma vai dārza žoga garuma aprēķināšana. Riteņa perimetrs (tā apkārtmērs) raksturo, cik tālu tas pārvietojies viena apgrieziena laikā. Savukārt, ap spoli aptītas stieples garums ir saistīts ar spoles perimetru.

Formulas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Figūra Formula Skaidrojumi
riņķis kur  ir riņķa līnijas radiuss,  tās diametrs.
trijstūris kur , un  ir trijstūra malu garumi.
kvadrāts/rombs  kur  ir malas garums
taisnstūris kur  ir platums,  ir garums.
vienādmalu daudzstūris kur  ir malu skaits un  ir vienas malas garums.
regulārs daudzstūris kur  ir malu skaits  ir attālums no daudzstūra centra līdz vienai no daudzstūra virsotnei. 
daudzstūris kur  ir  -tās (1., 2., 3. ... n-tā) malas garums n-stūrim.

Perimetrs ir divdemensionālas figūras apkārtmēra ceļa garums. Jebkuras slēgtas divdimensionālas formas garumu var aprēķināt, kā jebkuru ceļu, ar ja ir ceļa garums un ir bezgalīgi mazs līnijas elements. Abi šie lielumi ir jāaizstāj ar algebriskām formām, lai tos varētu praktiski aprēķināt. Ja perimetrs ir dots kā slēgta, gluda plaknes līkne ar

tad tās garumu  var aprēķinā izmantojot:

Daudzstūri[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Taisnstūra perimetrs.

Daudzstūri ir pamats, lai noteiktu perimetru, ne tikai tāpēc, ka tie ir vienkāršas figūras, bet arī tāpēc, ka ar to perimetru var tuvināti aprēķināt daudzu formu perimetru, izmantojot daudzstūrus, kas tiecas uz šo formu. Pirmais zināmais matemātiķis, kurš ir izmantojis šāda veida spriedumu ir Arhimēds, kurš pietuvināja riņķa perimetru tam apvilkta regulāra daudzstūra perimetram.

Daudzstūra perimetrs ir vienāds ar tā malu (šķautņu) garumu summu. Piemēram, perimetrs taisnstūrim ar platumu  un garumu  ir vienāds ar 

Vienādmalu daudzstūris ir daudzstūris, kura visas malas ir vienāda garuma (piemēram, rombs ir 4 šķautņu vienādmalu daudzstūris). Lai aprēķinātu perimetru vienādmalu daudzstūrim, reizina malu skaitu ar malas garumu.

Regulāru daudzstūri var raksturot ar tā malu skaitu un tā rādiusu, proti, attālumu no daudzstūra centra līdz vienai no virsotnēm. Malu garumu var aprēķināt, izmantojot trigonometriju. Ja ir regulāra daudzstūra rādiuss un ir tā malu skaits, tad tā apkārtmērs ir

Splitter (no angļu val.) trijstūrī ir nogrieznis, kas savieno virsotni ar tai pretējo malu un sadala perimetru divos vienādos garumos, šis garums tiek saukts par trijstūra pusperimetru. Šie nogriežņi trijstūrī krustojas Nāgela punktā.

Cleaver (no angļu val.) trijstūrī ir nogrieznis no trijstūra vienas malas viduspunkta līdz pretējai malai tā, ka perimetrs tiek sadalīts divās vienādās daļās. Šie nogriežņi trijstūrī krustojas vienā punktā, ko sauc par masas centru.

Riņķa līnija[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja riņķa diametrs ir 1, tā apkārtmērs ir vienāds π.

Riņķa perimetrs, ko bieži sauc par riņķa līniju, ir proporcionāls tā diametram un rādiusam. Proti, eksistē konstants skaitlis pi, ( grieķu p), ka, ja ir riņķa perimetrs un tā diametrs tad,

.

Savukārt, izmantojot riņķa rādiusu  , šī formula ir,

.

Lai aprēķinātu riņķa perimetru, ar zināšanām par tā rādiusu vai diametru un skaitli  pietiek. Problēma ir tā, ka nav racionāls skaitlis (to nevar izteikt kā koeficientu no diviem veseliem skaitļiem), kā arī tas nav algebrisks skaitlis (tas nav sakne kādam nenulles polinomam ar veseliem koeficientiem). Tātad aprēķinos ir svarīgi iegūt precīzu  tuvinājumu. Skaitļa π aprēķināšana ir būtiska daudzās jomās, piemēram, matemātiskajā analīzē, algoritmikā un datorzinātnēs.

Perimetra izpratne[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Jo vairāk šī forma tiek sadalīta, jo mazāks ir tās laukums un lielāks perimetrs. Izliektā kontūra nemainās.
Neuf-Brisach nocietinājuma perimetrs ir sarežģīts. Īsākais ceļš ap to ir gar tā izliektajām malām.

Perimetrs un laukums ir divi galvenie ģeometrisko figūru lielumi. Ir kļūdaini uzskatīt, ka, ja viens no tiem ir lielāks, tad otram arī tādam ir jābūt. Patiešām, pierasts ir novērojums, ka palielinot (vai samazinot) formu, tās laukums palielinās (vai samazinās), un tāpat arī tās perimetrs. Piemēram, ja lauks ir uzzīmēts uz 1/10,000 mēroga kartes, faktiskā lauka perimetru var aprēķināt, reizinot zīmējuma perimetru ar 10,000. Reālais laukums  ir 10,0002 reizes zīmējuma laukums kartē. Tomēr nepastāv saistība starp laukumu un perimetru parastās formās. Piemēram, perimetrs taisnstūrim ar platumu 0.001 un garumu 1000 ir nedaudz virs 2000, bet perimetrs taisnstūrim ar platumu 0,5 un garumu 2 ir 5. Abos gadījumos taisnstūra laukums ir 1.

Proclus (5. gs.) ziņoja, ka grieķu zemnieki "godīgi" sadalīja laukus, balstoties uz to perimetriem.[1] Tomēr lauku produkcija ir proporcionāla to platībai, nevis to perimetram, tāpēc daudzi naivi zemnieki varēja iegūt laukus ar lielu perimetru, bet nelielu platību (tādējādi, ar mazu ražu).

Noņemot gabalu no figūras, tās laukums samazinās, bet tās perimetrs var nesamazinaties. Gadījumā, ja figūra ir ļoti neregulāra, varētu rasties neskaidrība starp perimetru un tās kontūru. Izliekta kontūra attēlā var būt vizualizēta kā forma, kas veidota, gumiju apstiepjot ap to. Animācijā attēlā pa kreisi visām figūrām ir vienāda izliekta kontūra.

Izoperimetrija[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Izoperimetrijas problēma ir noteikt figūtu ar vislielāko laukumu, ja ir dots tās perimetrs. Risinājums ir intuitīvs; tas ir riņķis. Tas var tikt izmantots, lai izskaidrotu, kāpēc tauku pilieni uz buljona virsmas ir apļveida.

Šī problēma var šķist vienkārša, bet tās matemātiskais pierādījumus pieprasa sarežģītu teorēmu. Izoperimetriska problēma dažreiz tiek vienkāršota, ierobežojot, kāda veida figūras tiek izmantotas. Jo īpaši, lai atrastu četrstūri, trijstūri, vai kādu citu noteiktu figūru, ar lielāko laukumu starp šīm figūrām, kad dots konkrēts perimetrs. Risinājums četrstūra izoperimetriskai problēmai irkvadrāts, un risinājums trijstūra problēmai ir vienādmalu trijstūris. Kopumā, daudzstūris kuram ir n malas ar lielāko laukumu, ņemot vērā doto perimetru, ir regulārs daudzstūrs, kas vairāk līdzinās riņķim, nekā jebkurš cits neregulārs daudzstūris ar tādu pašu malu skaitu.

Etimoloģija[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Vārds radies no grieķu περίμετρος perimetros no περί peri "ap", un μέτρον metron "mērs".

Skatīt arī[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. T. Heath. A History of Greek Mathematics 2. Dover Publications, 1981. 206. lpp. ISBN 0-486-24074-6.

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]