Polinomu dalīšana

Piemērs polinomu dalīšanas pierakstam

Polinomu dalīšana ir algoritms, lai izdalītu divus polinomus, kur skaitītājā polinoms ir ar vienādu vai lielāku kārtu kā saucējā. Polinomu dalīšanu veic gluži kā vairākciparu skaitļu dalīšanu. To var izdarīt ar roku, jo algoritms pārvērš citādi sarežģītu dalīšanas uzdevumu par vairākiem mazākiem uzdevumiem.

Starp jebkuriem diviem polinomiem $P(x)$ un $Q(x)$ var atrast tādus $S(x)$ un $R(x)$, ka izpildās vienādība: ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=S(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)}}$. Ja atlikuma nav, jeb $R(x)=0$, tad polinomi dalās bez atlikuma.

Piemērs

Apskatīsim kā izdalīt polinomus $P(x)=2x^{3}-6x^{2}+5x+4$ un $Q=x^{2}-2x+2$, jeb vēlamies no šo dalījumu pārrakstīt formā ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=S(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)}}$.

Vispirms izdala katra polinoma lielākās pakāpes locekļus, jeb ${\frac {2x^{3}}{x^{2}}}=2x$. Šis būs pirmais loceklis dalījuma polinomā. Pēc tam šo pirmo locekli reizina ar dalītāja polinomu un atņem no dalāmā polinoma, t.i. $(2x^{3}-6x^{2}+5x+4)-2x(x^{2}-2x+2)=-2x^{2}+x+4$. Tālāk algoritms tiek vēlreiz atkārtots, izdalot katra polinoma lielākos locekļus: ${\frac {-2x^{2}}{x^{2}}}=-2$, šis būs otrais dalījuma polinoma loceklis. Turpinot algoritmu, reizinam šo otro locekli ar dalītāja polinomu un atņemam no jauniegūtā dalāmā polinoma: $(-2x^{2}+x+4)-(-2)\cdot (x^{2}-2x+2)=-3x+8$. Pakāpes rādītājs lielākama jauniegūtajam polinomam ir mazāks par dalāmā polinoma lielāko pakāpi, tādēļ algoritms apstājas un iegūstam, ka atlikums ir $-3x+8$. Šo dalīšanas procedūru pieraksta šādi:

${\begin{array}{r}(2x^{3}-6x^{2}+5x+4):(x^{2}-2x+2)=2x-2\\{\underline {-(2x^{3}-4x^{2}+4x){\color {White}{}+0x-4}}}\\-2x^{2}+x+4{\color {White}{}-4}\\{\underline {-(-2x^{2}+4x-4){\color {White}{}-4}}}\\-3x+8\end{array}}$