Robeža (matemātika)

Vikipēdijas lapa
Jump to navigation Jump to search
Grafiks funkcijai, kuras vērtība f(x), argumentam x pārsniedzot vērtību S, atrodas attālumā ε no L

Matemātikā robeža ir vērtība, uz kuru tiecas funkcija vai skaitļu virknes elementi. Robežas ir nozīmīga matemātiskās analīzes sastāvdaļa, un tās tiek izmantotas bezgalības, atvasinājumu un integrāļu, kā arī matemātikas konstanšu definēšanā.

Apzīmējums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Formulās robeža parasti tiek apzīmēta, izmantojot vārdu lim, pilnajā formā , un robežvērtība, kurai tuvojas funkcija, tiek rakstīta aiz labās bultiņas (→), proti, ana.

Pamatjēdzieni[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Funkcijas , kad , robeža ir skaitlis , ja katram pozitīvam skaitlim var atrast tādu pozitīvu skaitli , ka ar visām tām vērtībām, izņemot , kurām , ir spēkā nevienādība .

Funkcijas robežu, kad un , sauc par robežu no labās puses . Funkcijas robežu, kad un , sauc par robežu no kreisās puses . Abas šīs robežas sauc par vienpusējām. Ja , tad . Ja , tad neeksistē.

Ja , tad sauc par bezgalīgi mazu funkciju. Ja , tad sauc par bezgalīgi lielu funkciju. Šādu funkciju īpašības:

  • bezgalīgi mazas funkcijas apgrieztā (inversā) funkcija ir bezgalīgi liela funkcija, savukārt, bezgalīgi lielas funkcijas apgrieztā funkcija ir bezgalīgi maza funkcija;
  • bezgalīgi mazu funkciju summa ir bezgalīgi maza funkcija;
  • bezgalīgi mazas funkcijas reizinājums ar ierobežotu funkciju ir bezgalīgi maza funkcija;
  • bezgalīgi mazu funkciju reizinājums ir bezgalīgi maza funkcija;
  • bezgalīgi mazas funkcijas dalījums ar funkciju, kuras robeža nav nulle, ir bezgalīgi maza funkcija.

Robežu īpašības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • ;
  • ;
  • , ja ;
  • ja katram punkta apkārtnē , tad ;
  • ja katram punkta apkārtnē , tad ;
  • ja katram punkta apkārtnē un , tad .

Nenoteiktības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Nenoteiktības ir , , , , , , , šajos gadījumos rezultātā var būt gan bezgalība, gan nulle, gan cits galīgs skaitlis. Lai aprēķinātu robežu ar nenoteiktību, jāpārveido funkcija: dala katru skaitli ar augstāko mainīgā pakāpi vai pārveido un pēc tam saīsina izteiksmi.

Lai novērstu nenoteiktību, kad izteiksme satur trigonometrisku funkciju, var izmantot pirmo ievērojamo robežu

.

nenoteiktību var novērst, izmantojot otro ievērojamo robežu

vai ,kur ir Eilera skaitlis.

Bezgalīgi mazu lielumu salīdzināšana[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Robežu aprēķināšanai dažkārt ērti izmantot bezgalīgi mazu funkciju salīdzināšanu.

Divas bezgalīgi mazas funkcijas un sauc par vienādas kārtas bezgalīgi mazām funkcijām, kad , ja

,

kur ir galīgs skaitlis, kurš nav nulle.

Ja , un ir ekvivalentas funkcijas:

.

Aprēķinot bezgalīgi mazu funkciju attiecības robežu, tās var aizvietot ar ekvivalentām bezgalīgi mazām funkcijām. Savsarpēji ekvivalentas ir () , , , , , , , un citas funkcijas.

Bezgalīgi mazai funkcijai ir augstāka kārta nekā bezgalīgi mazai funkcijai (to pieraksta kā ), ja

.

Ja , tad

.

sauc par n-tās kārtas bezgalīgi mazu funkciju salīdzinājumā ar , kad (to pieraksta kā ), ja

.

Funkcijas nepārtrauktība, funkcijas pārtraukumi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Funkcijas grafiks. Funkcija nav definēta, ja , tas ir funkcijas otrā veida pārtraukuma punkts: ,

Funkcija ir nepārtraukta punktā , ja

,

kur ir argumenta pieaugums, ir funkcijas pieaugums.

Ja funkcija ir nepārtraukta šajā punktā, tad

.

Ja funkcija ir pārtraukta punktā ,

  • sauc par pirmā veida pārtraukuma punktu, ja abas vienpusīgās robežas ir galīgas, kad ;
  • sauc par otrā veida pārtraukuma punktu, ja vismaz viena no vienpusīgajām robežām ir bezgalība vai neeksistē, kad .[1]

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Inta Volodko. Augstākā matemātika. Zvaigzne ABC, 2007. ISBN 978-9984-37-811-4.