Rolla teorēma

Rolla teorēma ir teorēma matemātiskajā analīzē, kas apgalvo, ka gadijumā, kad reālas vērtības pieņemoša atvasināma funkcija pieņem vienādas vērtības divos atšķirīgos punktos, eksistē vismaz viens punkts starp tiem, kurā funkcijas atvasinājums ir vienāds ar 0. Šādus punktus sauc par stacionārajiem punktiem. Teorēma nosaukta par godu franču matemātiķim Mišelam Rollam.

Precīzāka matemātiska definīcija ir šāda — ja funkcija $f$, kas pieņem reālas vērtības, ir nepārtraukta slēgtā intervālā $[a,b]$ un atvasināma vaļējā intervālā $(a,b)$, kā arī $f(a)=f(b)$, tad eksistē vismaz viens punkts $c$ intervālā $(a,b)$, tāds, ka $f'(c)=0.$.

Rolla teorēma ir izmantota, lai pierādītu Lagranža teorēmu, kurai Rolla teorēma ir speciālgadījums.

Pierādījums

Tā kā funkcija $f$ ir nepārtraukta intervālā $[a,b]$, tai eksistē maksimums un minimums šajā intervālā, apzīmēsim tos ar $M$ un $m$. Aplūkosim divus gadījumus.

• $M=m$. Tādā gadījumā funkcija $f$ intervālā $[a,b]$ ir konstanta funkcija, un tās atvasinājums ir 0 visos intervāla $(a,b)$ punktos.
• $M\neq m$. Tā kā $f(a)=f(b)$, funkcijas maksimālā un minimālā vērtība abas vienlaikus nevar atrasties intervāla robežpunktos. Tātad intervālā $(a,b)$ eksistē punkts $c$, kas ir vai nu maksimums, vai minimums. No Fermā teorēmas izriet, ka $f'(c)=0.$.

Ārējās saites

• Encyclopedia of Mathematics ieraksts Arhivēts 2025. gada 9. decembrī, Wayback Machine vietnē.