Sfēriskā trigonometrija

Sfēras trijstūrim, kas veido oktantu, visi leņķi ir $90^{\circ }$

Sfēriskā trigonometrija ir sfēriskās ģeometrijas apakšnozare, kas pētī kā saistās malas un leņķi sfēriskiem trijstūriem. Parasti tie saistās caur trigonometriskām funkcijām. Uz sfērām īsākais ceļš starp punktiem ir caur lielo riņķi (kas plaknē atbilst taisnei). Sfēriskā trigonometrija parādās astronomijas, ģeodēzijas un navigācijas aprēķinos.

Teorija

Sfēriskie daudzstūri

Sfērisko trijstūri veido malas, kuru daļas ir posms no lielajiem riņķiem

Sfērisks daudzstūris ir daudzstūris uz sfēras virsmas. Tā malas ir loki, no lielajiem riņķiem (riņķa līnijas ar tādu pašu diametru, kas sfērai). Daudzstūriem var būt divas vai vairāk malas (divas malas ir daivas veida figūrai). Trīs loki definē sfērisko trijstūri. Daudzstūrus ar vairāk malām definē līdzīgi. Analogi plaknes gadījumam, daudzstūrus ar vairāk par 3 malām var sadalīt sfēriskos trijstūros. Sfēriskā trigonometrija apskata tikai sfēriskos trijstūrus.

Pieraksts

Attiecībā uz virsotnēm.

• Gan virsotnes, gan leņķus trijstūrī apzīmē ar lielajiem burtiem $A,B,C$.
• Malas trijstūrim apzīmē ar mazajiem burtiem $a,b,c$, kur mala $a$ atrodas pret leņķi $A$, mala $b$ atrodas pret leņķi $B$, mala $c$ atrodas pret leņķi $C$. Ja sfēras rādiuss ir 1, tad malas garums sakrīt leņķa garumam.
• Leņķi $A$ (attiecīgi arī $B$ un $C$) var uzskatīt par leņķi, ko veido plaknes $AOB$ un $AOC$, kur $O$ ir sfēras centrs.
• Leņķus pieņem mazākus par $\pi$ radiāniem. Tādēļ sfēriskiem trijstūriem izpildās nevienādības $\pi <A+B+C<3\pi$. Atšķirībā no sfēriskajiem trijstūriem, Eiklīda plaknē esošo trijstūru leņķu summa vienmēr ir $\pi$ radiāni, jeb $180^{\circ }$.

Attiecībā uz malām.

• Radiānu pierakstā malas garumu mēra kā leņķi, ko tas veido no sfēras centra. Ja sfēras rādiuss ir 1, tad šis radiānu mērījums atbilst loka garumam. Tiek pieņemts, ka sfēriska trijstūra mala ir mazāka par $\pi$ radiāniem, līdz ar to $0<a+b+c<2\pi$.
• Ja pētāmā problēma ir uz sfēras ar rādiusu $R$, tad iegūtos garumus jāizdala ar $R$, pirms izmanto vienādojumus, kas aprakstīti vēlāk rakstā. Attiecīgi pēc formulu pielietošanas rezultāts jāreizina ar $R$.

Sfēriskā kosinusa un sinusa formulas

Sfēriskā kosinusu formula

Galvenais raksts: Sfēriskā kosinusu teorēma

Kosinusa formula ir svarīga identitāte sfēriskajā trigonometrijā: citas identitātes var iegūt no tās, piemēram, sinusa identitāti. Kosinusa formulu var pierakstīt kā:

${\begin{aligned}\cos {a}=\cos {b}\cos {c}+\sin {b}\sin {c}\cos {A}\\\cos {b}=\cos {a}\cos {c}+\sin {a}\sin {c}\cos {B}\\\cos {c}=\cos {a}\cos {b}+\sin {a}\sin {b}\cos {C}\\\end{aligned}}$

Šīs identitātes vispārinās arī uz plaknes trigonometriju, kad ņem mazus loku garumus. Uz vienības sfēras, ja ņem $a,b,c\rightarrow 0$, tad var izmantot mazo leņķu tuvinājumus $\sin {a}\approx a$ un $\cos {a}\approx 1-{\frac {a^{2}}{2}}$.

Sfēriskā sinusa formula

Sfēriskā sinusa formula ir:

${\frac {\sin {A}}{\sin {a}}}={\frac {\sin {B}}{\sin {b}}}={\frac {\sin {C}}{\sin {c}}}$

No šīs formulas pie bezgalīgi maziem loku garumiem $a,b,c\rightarrow 0$ iegūst plaknes versiju sinusu formulai.

Piemērs no astronomijas

Piemērā apskatītā situācija: zvaigznes atrodas punktos $B,C$ un punkts $A$ ir debess ziemeļpols ($\delta =90^{\circ }$)

Izmantojot sfērisko trigonometriju, var noteikt leņķisko distanci starp divām zvaigznēm, ja ir zināmas to koordinātas kādā koordinātu sistēmā. Piemēram, var aprēķināt leņķisko distanci starp zvaigznēm Vegu un Betelgeizi (ekvatoriālajā koordinātu sistēmā Vegai rektascensija ir $\alpha \approx 18^{h}\ 36^{m}\ 56^{s}\approx 279^{\circ }$ un deklinācija $\delta \approx 38.8^{\circ }$, bet Betelgeizei rektascensija ir $\alpha \approx 5^{h}\ 55^{m}\ 10^{s}\approx 88.8^{\circ }$ un deklinācija $\delta \approx 7.41^{\circ }$).

Tagad var izveidot sfērisku trijstūri $ABC$, kur $B,C$ var atvēlēt kā zvaigžņu atrašanās vietas, piemēram, Betelgeizei atbilst $B$ un Vegai atbilst $C$. Līdz ar to tiek meklēts loks starp zvaigznēm $a$ (viena no trijstūra malām). Pārējās divas malas $b,c$ ir tādas, kuras veido savienojot zvaigznes ar debess ziemeļpolu (kur $\delta =90^{\circ }$). No tā izriet, ka malas $b$ leņķiskā distance ir $b=90^{\circ }-\delta _{Betelgeize}$ un malas $c$ leņķiskā distance ir $c=90^{\circ }-\delta _{Vega}$. Savukārt leņķis $A$ atbilst rektascensiju starpībai: $A=(360^{\circ }+\alpha _{Betelgeize})-\alpha _{Vega}=169.8^{\circ }$ (leņķis piemeklēts tāds, lai tas būtu pozitīvs un mazāks par $180^{\circ }$).

Tagad var izmantot sfērisko kosinusu teorēmu:$\cos(a)=\cos(90^{\circ }-\delta _{Vega})\cos(90^{\circ }-\delta _{Betelgeize})+\sin(90^{\circ }-\delta _{Vega})\sin(90^{\circ }-\delta _{Betelgeize})\cos(169.8^{\circ })$, ko, izmantojot trigonometriskās sakarības $\cos(90^{\circ }-x)=\sin(x)$ un $\sin(90^{\circ }-x)=\cos(x)$, var pārrakstīt kā:

$\cos(a)=\sin(\delta _{Vega})\sin(\delta _{Betelgeize})+\cos(\delta _{Vega})\cos(\delta _{Betelgeize})\cos(169.8^{\circ })$ un iegūst

$cos(a)\approx -0.6798\rightarrow c=\arccos(-0.6798)\approx 132.8^{\circ }$, kas atbilst katalogā piedāvātajai vērtībai.

Ārējās saites

• Vikikrātuvē par šo tēmu ir pieejami multivides faili. Skatīt: Sfēriskā trigonometrija.

• Encyclopædia Britannica raksts (angliski)
• Krievijas Lielās enciklopēdijas raksts (krieviski)
• Krievijas Lielās enciklopēdijas raksts (2004-2017) (krieviski)
• Enciklopēdijas Krugosvet raksts (krieviski)