Skalārais reizinājums

Skalāro reizinājumu var interpretēt kā vektora ${\vec {b}}$ projecēšanu uz ${\vec {a}}$ un reizināšanu ar tā garumu $|{\vec {a}}|$, vai arī otrādi projecēt un pareizināt ar garumu. $|proj_{\vec {a}}\ {\vec {b}}|=|{\vec {b}}|\cos {\theta }$, $|proj_{\vec {b}}\ {\vec {a}}|=|{\vec {a}}|\cos {\theta }$, ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos {\theta }$

Matemātikā skalārais reizinājums ir bināra operācija, kas diviem vektoriem piekārto skalāru lielumu jeb skaitli, kas raksturo doto vektoru garumu un leņķi starp tiem, un nav atkarīgs no koordinātu sistēmas, kurā vektori uzdoti.

Definīcija

Par reālā n-dimensiju Eiklīda telpā esošu vektoru ${\vec {a}}$ un ${\vec {b}}$ skalāro reizinājumu sauc tādu reālu skaitli c, ka

$c=|\,{\vec {a}}\,|\,|\,{\vec {b}}\,|\cos \theta ,$

kur $|\,{\vec {a}}\,|$ un $|\,{\vec {b}}\,|$ ir vektoru ${\vec {a}}$ un ${\vec {b}}$ garumi un θ ir leņķis starp tiem.

Skalārā reizinājuma darbību apzīmē ar "$\cdot$", piemēram, $c={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$.

Aprēķināšanas metodes

Pa tiešo

Trīsdimensiju Eiklīda telpā esošu vektoru ${\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})$ un ${\vec {b}}=(b_{x},b_{y},b_{z})$ skalārais reizinājums ir

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}.$

Ar summas palīdzību

Ja ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ un ${\vec {b}}=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$ atrodas n-dimensiju Eiklīda telpā, tad to skalāro reizinājumu atrod ar summas palīdzību:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\dots +a_{n}b_{n}.$

Ar matricu palīdzību

Vektoru skalāro reizinājumu var atrast ar matricu reizināšanas palīdzību. Ja vektorus ${\vec {a}}$ un ${\vec {b}}$ pieraksta kā kolonnas vektorus jeb matricas $a\,$ un $b\,$ ar vienu kolonnu un n rindiņām, tad

$a^{\mathrm {T} }b={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$

ir 1 × 1 matrica, kuras vienīgais elements ir vienāds ar ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$. Šeit $a^{\mathrm {T} }\,$ apzīmē matricas $a\,$ transponēto matricu (šajā gadījumā rindas vektoru).

Pielietojumi

Ar skalāro reizinājumu var iegūt vektora garumu/moduli: ${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}|^{2}\rightarrow {\sqrt {{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}=|{\vec {a}}|$

Ar skalāro reizinājumu var iegūt leņķi starp vektoriem: ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|\,{\vec {a}}\,|\,|\,{\vec {b}}\,|\cos \theta \rightarrow \theta =\arccos {\left({\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}\right)}$

Lai gan pieliktais spēks ir 5 vienības, projecējot pārvietojuma virzienā darbu veic tikai 4 vienības

Ar skalāro reizinājumu var iegūt spēka padarīto darbu: $A={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}$. Ja spēka virziens sakrīt ar pārvietojuma virzienu, tad leņķis $\theta$ starp tiem ir nulle un izteiksme vienkāršojas par vektora garumu reizinājumu: $A=F\cdot s$. Ja spēka virziens nesakrīt ar pārvietojuma virzienu, tad nepieciešams projecēt spēku pārvietojuma virzienā: $A={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}=|F|\cdot |s|\cdot \cos {\theta }$. Ja ceļa garumā šis leņķis mainās starp spēku un pārvietojumu, piemēram, pārvietojums spēka vektoru laukā, tad jāizmanto integrālis: $A=\int _{\gamma }{\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}$.

Terminoloģija

Angliski jēdzienu scalar product lieto, lai apzīmētu skalāro reizinājumu reālā Eiklīda telpā. Lai apzīmētu skalārā reizinājuma vispārinājumu prehilberta telpā (piemēram, kompleksā Eiklīda telpā), lieto jēdzienu inner product jeb "iekšējais reizinājums". Latviešu valodā šāds jēdziens nav iegājies, tāpēc jēdzienu "skalārais reizinājums" attiecina gan uz reālām Eiklīda telpām, gan uz prehilberta telpām. Līdzīgi arī vācu valodā jēdzienu Skalarproduct lieto abos gadījumos.