Skalārais reizinājums

Matemātikā skalārais reizinājums ir bināra operācija, kas diviem vektoriem piekārto skalāru lielumu jeb skaitli, kas raksturo doto vektoru garumu un leņķi starp tiem, un nav atkarīgs no koordinātu sistēmas, kurā vektori uzdoti.

Definīcija

Par reālā n-dimensiju Eiklīda telpā esošu vektoru ${\vec {a}}$${\vec {a}}$ un ${\vec {b}}$${\vec {b}}$ skalāro reizinājumu sauc tādu reālu skaitli c, ka

$c=|\,{\vec {a}}\,|\,|\,{\vec {b}}\,|\cos \theta ,$$c=|\,{\vec {a}}\,|\,|\,{\vec {b}}\,|\cos \theta ,$

kur $|\,{\vec {a}}\,|$$|\,{\vec {a}}\,|$ un $|\,{\vec {b}}\,|$$|\,{\vec {b}}\,|$ ir vektoru ${\vec {a}}$${\vec {a}}$ un ${\vec {b}}$${\vec {b}}$ garumi un θ ir leņķis starp tiem.

Skalārā reizinājuma darbību apzīmē ar "·", piemēram, $c={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$$c={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$.

Aprēķināšanas metodes

Pa tiešo

Trīsdimensiju Eiklīda telpā esošu vektoru ${\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})$${\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})$ un ${\vec {b}}=(b_{x},b_{y},b_{z})$${\vec {b}}=(b_{x},b_{y},b_{z})$ skalārais reizinājums ir

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}.$${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}.$

Ar summas palīdzību

Ja ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ un ${\vec {b}}=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$${\vec {b}}=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$ atrodas n-dimensiju Eiklīda telpā, tad to skalāro reizinājumu atrod ar summas palīdzību:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\dots +a_{n}b_{n}.$${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\dots +a_{n}b_{n}.$

Ar matricu palīdzību

Vektoru skalāro reizinājumu var atrast ar matricu reizināšanas palīdzību. Ja vektorus ${\vec {a}}$${\vec {a}}$ un ${\vec {b}}$${\vec {b}}$ pieraksta kā kolonnas vektorus jeb matricas $a\,$$a\,$ un $b\,$$b\,$ ar vienu kolonnu un n rindiņām, tad

$a^{\mathrm {T} }b={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$$a^{\mathrm {T} }b={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$

ir 1 × 1 matrica, kuras vienīgais elements ir vienāds ar ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$. Šeit $a^{\mathrm {T} }\,$$a^{\mathrm {T} }\,$ apzīmē matricas $a\,$$a\,$ transponēto matricu (šajā gadījumā rindas vektoru).

Terminoloģija

Angliski jēdzienu scalar product lieto, lai apzīmētu skalāro reizinājumu reālā Eiklīda telpā. Lai apzīmētu skalārā reizinājuma vispārinājumu prehilberta telpā (piemēram, kompleksā Eiklīda telpā), lieto jēdzienu inner product jeb "iekšējais reizinājums". Latviešu valodā šāds jēdziens nav iegājies, tāpēc jēdzienu "skalārais reizinājums" attiecina gan uz reālām Eiklīda telpām, gan uz prehilberta telpām. Līdzīgi arī vācu valodā jēdzienu Skalarproduct lieto abos gadījumos.