Stirlinga formula

Stirlinga formula log-log grafikā. Parādīts, kā aproksimācija atrodas zem patiesās faktoriāla vērtības, bet pie lielākiem skaitļiem abas tiecas būt vienādas

Stirlinga formula, arī Stirlinga aproksimācija ir funkcija, pēc kuras var tuvināti aprēķināt faktoriāla vērtību. Tā ir noderīga, jo pie lieliem ievades skaitļiem faktoriāla formulā, rezultāts ļoti strauji aug. Šāda aproksimācija noder, piemēram, tuvināti rēķinot permutācijas, kombinācijas, Teilora rindas locekļus, algoritmu sarežģītību, statistiskās fizikas uzdevumus u.c.

Viens veids, kā noformulēt aproksimāciju: $x!\approx x^{x}\cdot e^{-x}\cdot {\sqrt {2\pi x}}+O\left({\frac {1}{x}}\right),\ \ \ n\rightarrow \infty$, kur $x$ ir skaitlis, kuram meklē faktoriāli, $e$ ir Eilera skaitlis un $O\left({\frac {1}{x}}\right)$ norāda lielā O pierakstu.

Izvedumi

Relatīvās kļūdas grafiks atkarībā no aprēķinātās faktoriāla vērtības

Tuvinājums ar logaritmu

Ja pieraksta faktoriāla logaritmu un izmantojot tā integrāļa aproksimāciju iegūst:

$\ln {x!}=\sum _{n=1}^{x}\ln(n)\approx \int _{1}^{x}\ln {n}\ dn=x\ln {x}-x$.

Aptuvenojums ir spēkā, jo:

$\sum _{n=1}^{x}\ln(n)=\int _{1}^{x+1}\ln \lfloor n\rfloor dn<\int _{1}^{x+1}\ln {n}\ dn<\int _{1}^{x+1}\ln \lceil n\rceil dn=\sum _{n=2}^{x+1}\ln(n)$, kur $\lfloor \rfloor$ norāda apaļošnu uz leju un $\lceil \rceil$ norāda apaļošanu uz augšu. Līdz ar to absolūtā kļūda starp summu un integrāli ir $O(\ln(x))$, kas atbilst asimptotiskajam Stirlinga aproksimācijas apgalvojumam:

$\ln(x!)\sim x\ln(x)-x+O(\ln(x))$, kur $\sim$ nozīmē ka abi lielumi ir asimptotiski, jeb ņemot robežu $x\rightarrow \infty$ šo lielumu attiecība tiecas uz 1.

Tuvinājums ar Puasona sadalījumu

Lai iegūtu tuvinājumu faktoriālam, var apskatīt Puasona sadalījumu un tā konverģenci uz normālo sadalījumu caur centrālo robežteorēmu. Puasona sadalījums ar lielu parametra $\lambda$ vērtību konverģē uz normālo sadalījumu. Šis parametrs $\lambda$ arī atbilst vidējai vērtībai un dispersijai, to varbūtību sadalījumi aptuveni sakritīs:

${\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi \lambda }}}e^{\frac {(x-\lambda )^{2}}{2\lambda }}$. Ievietojot formulā vidējo vērtību $\lambda$, izteiksme tiek vienkāršota:

${\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{\lambda }}{\lambda$ !}}\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi \lambda }}}} , izsakot faktoriāli iegūst: ${\displaystyle \lambda$ !\approx \lambda ^{\lambda }e^{-\lambda }{\sqrt {2\pi \lambda }}} , kas arī atbilst Stirlinga formulai.