Varbūtību blīvuma funkcija

Grafiski attēlots, kā blīvuma funkcijas radītais laukums intervālā $[a,b]$ atbilst varbūtībai gadījuma lielumam nākt no intervāla $[a,b]$.

Varbūtību blīvuma funkcija, arī blīvuma funkcija varbūtību teorijā ir funkcija, kuras laukumu zem līknes intervālā $[a,b]$ var interpretēt kā varbūtību, ka gadījuma lielums nāks no šī $[a,b]$ intervāla. Tā ir nepārtrauktā versija varbūtību masas funkcijai. Varbūtības blīvums ir varbūtība uz garuma vienību, — sekas šim, iespējams, šķiet paradoksiālas, ka absolūti precīza mērījuma varbūtība ir nulle, taču tas ir robežas gadījums, kad intervāla garums tiecas uz nulli, nenulles intervālam ir nenulles varbūtība. Arī varētu šķist paradoksiāli, ka varbūtību blīvuma funkcija var būt lielāka par 1 (robežas gadījumā pat bezgalība vienā punktā un nulle citos, kā Dīraka delta funkcijā), tomēr blīvuma funkcija prasa tikai lai integrālis pa visām iespējamajām vērtībām ir 1, nevis varbūtību blīvums ir 1.

Īpašība

Ja ir dota nenegatīva, reāla funkcija $f(x)>0,\forall \ x\in (-\infty ,\infty )$ ar īpašību:

• $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$

tad funkciju $f(x)$ sauc par varbūtības blīvuma funkciju.

Blīvuma funkcijas interpretācijas

Varbūtību blīvuma funkciju var interpretēt kā sagaidāmo vērtību atrašanās vietai $E(X)=\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot f(x)dx$. Ja pamaina $f(x)$, ka izpildās $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=m$, kur $m$ ir pilnā masa kādam ķermenim, tad $E(X)$ atbilst masas centra koordinātei. Ja varbūtību blīvuma funkciju interpretē kā masas sadalījumu, tad inerces momentu iegūst no integrāļa $I=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot f(x)dx$

Blīvuma funkcija saskaitītiem gadījuma lielumiem

Galvenais raksts: Konvolūcija

Konvolūcija no apskatītā piemēra.

Pieņemsim, ka tiek meklēta blīvuma funkcija divu gadījuma lieluma summai $U+V$. Šajā gadījumā blīvuma funkciju iegūst kā šo funkciju konvolūciju: $f_{U+V}=\int _{-\infty }^{\infty }f_{U}(y)\cdot f_{V}(x-y)dy=(f_{U}*f_{V})(x)$

Piemērs

Gadījuma lielumi saskaitās, piemēram, saistītās sistemātiskās kļūdās. Varētu ņemt mērījumus ar svariem, kuru sistemātiskā kļūda ir ± 0,5 grams. Tā kā papildus informācijas nav, kļūda varētu būt + 0,2 g vai — 0,5 g, abi ir vienādi iespējami. Šāds sadalījums ir vienmērīgs sadalījums un varētu uzdot jautājumu- kāds ir gadījuma kļūdas sadalījums diviem vienmērīgiem sadalījumiem? (kas atbilstu kļūdai, kad masas saskaita).

Atbilde ir šo blīvuma funkciju konvolūcija. Abi sadalījumi ir kastes veida funkcija un šoreiz var arī kvalitatīvi izspriest kā izskatīsies to konvolūcija, bez integrāļa rēķināšanas. Atsevišķi funkcijas $f_{U},f_{V}$ ir kastveida un to formula ir $f_{U}(x)=f_{V}(x)={\begin{cases}1,\ {\text{ja}}\ x\in [-0.5,0.5]\\0,\ {\text{citādi}}\end{cases}}$. Tā kā konvolūciju var intepretēt kā laukumu abu integrāļa funkciju reizinājumam, pārklāto reģionu reizinājums būs $1\cdot 1=1$, bet nepārklātajos reģionos to reizinājums būs nulle. Attiecīgi var izspriest, ka šis integrālis atbilst taisnstūru laukumiem, kas ir lineāri atkarīgi no malas garuma $S=a\cdot b$ un mainot $x$ šī konvolūcijas funkcija $(f_{U}*f_{V})(x)$ mainīsies lineāri no $x$. Šie varbūtību blīvumi sāks pārklāties, kad $x=-1$, precīzi pārklājās pie $x=0$, kad $(f_{U}*f_{V})(x=0)=1$ un beigs pārklāties, kad $x=1$. No šiem spriedumiem var iegūt trijstūra grafiku, kas parādīts animācijā: $(f_{U}*f_{V})(x)={\begin{cases}1+x,\ {\text{ja}}\ x\in [-1,0]\\1-x,\ {\text{ja}}\ x\in [0,1]\\0,\ {\text{citādi}}\end{cases}}$