Varbūtību masas funkcija

Piemērs varbūtību masas funkcijai- burtu biežums tekstā angļu valodā. Šo informāciju var attēlot histogrammā.

Varbūtību masas funkcija statistikā un varbūtību teorijā ir funkcija, kas norāda kāda varbūtība ir notikt katram gadījuma lielumam. To var attēlot, piemēram, histogrammā, bet tā norāda varbūtību katram notikumam, nevis absolūto vai relatīvo biežumu kādai izlasei. Tā ir diskrētā versija varbūtību blīvuma funkcijai.

Īpašības

Varbūtību masas funkcijai ir divas galvenās īpašības:

• $P(X=x)\geq 0$ (varbūtība ir nenegatīva)
• $\sum _{i=1}^{N}p_{i}=1$ (visu varbūtību summa ir 1)

Piemēri

Kā piemērus varbūtību masas funkcijām var minēt diskrēto versiju vienmērīgajam sadalījumam, Bernulli sadalījumu, kas apskata divu gadījumu lielumu ar divām vērtībām. Ja saskaita vairākus Bernulli sadalījumus, iegūst Binomiālo sadalījumu. Vēl var minēt Puasona sadalījumu, kas ir sadalījums, ko iegūst ņemot Binomiālā sadalījuma robežu, kad gadījumu lielumu skaits summā tiecas uz bezgalību.

Varbūtību masas funkcija saskaitītiem gadījuma lielumiem

Apskatītais piemērs- varbūtību masas funkcija divu metamo kauliņu summai

Galvenais raksts: Konvolūcija

Lai iegūtu varbūtību masas funkciju divu gadījumu lielumu summai $Z=X+Y$, vajag veikt diskrētu konvolūciju. Ja $f$ ir varbūtību funkcija priekš viena gadījuma lieluma un $g$ ir varbūtību funkcija priekš otra gadījuma lieluma, tad diskrētā konvolūcija pierakstās kā:

$(f*g)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[n-m]g[m]$ vai $(f*g)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[m]g[n-m]$.

Pēc šīs formulas var iegūst vērtības, ja gadījuma notikumi ir veseli skaitļi. Ja tie ir arī racionāli vai reāli, tad tās $m$ vērtības arī jāņem vērā summā.

Piemērs

Piemēram, kāda ir varbūtību masas funkcija 2 metamo kauliņu summai (2d6)? Apskatot 2 kauliņu gadījumu, var izspriest, ka divu kauliņu summa būs robežās $[2;12]$, attiecīgi var pārbaudīt, ka konvolūciju formula dos 0 priekš vērtībām ārpus šīs robežas: $(f*g)[1]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[1-m]g[m]=\underbrace {f[1+\infty ]g[-\infty ]} _{0\cdot 0}...+\underbrace {f[-5]g[6]} _{0\cdot {\frac {1}{6}}}+\underbrace {f[-4]g[5]} _{0\cdot {\frac {1}{6}}}+...+\underbrace {f[1]g[0]} _{{\frac {1}{6}}\cdot 0}+\underbrace {f[2]g[-1]} _{{\frac {1}{6}}\cdot 0}+...+\underbrace {f[1-\infty ]g[\infty ]} _{0\cdot 0}=0$

Savukārt, priekš iespējamām vērtībām konvolūciju būs nenulle:

$(f*g)[3]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[3-m]g[m]=\underbrace {f[1+\infty ]g[-\infty ]} _{0\cdot 0}+...+\underbrace {f[1]g[2]} _{{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{6}}}+\underbrace {f[2]g[1]} _{{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{6}}}+...+\underbrace {f[1-\infty ]g[\infty ]} _{0\cdot 0}={\frac {1}{18}}$

Šo procesu atkārtojot katrai varbūtības masas iespējamai vērtībai $n\in \mathbb {Z}$ iegūst sadalījumu: $(f*g)[n]={\begin{cases}{\frac {1}{36}}\cdot (n-1),\ {\text{ja}}\ n\in [2,7]\\{\frac {1}{36}}\cdot (13-n),\ {\text{ja}}\ n\in [7,12]\\0,\ {\text{citādi}}\end{cases}}$.