Viļņu vienādojums

Viļņu vienādojums paredz stāvviļņus- diviem skrejviļņiem izplatoties pretējos virzienos, to superpozīcija ir stāvvilnis

Viļņu vienādojums apraksta viļņa izplatīšanos laikā un telpā. Tas ir otrās kārtas lineārs parciālais diferenciālvienādojums, kas izklāsta mehāniskos viļņus (piemēram, ūdens viļņi, skaņas viļņi, seismiskie viļņi) vai elektromagnētiskos viļņus (t.sk. redzamo gaismu). Ar to sastopas akustikā, elektromagnētismā un šķidrumu mehānikā. Pastāv vēl cita veida viļņu vienādojums kvantu mehānikā, kas netiks apskatīts šajā rakstā.

Formula

Viļņu parādība- viļņu atstarošanās un transmisija, kad mainās izplatīšanās vide.

Vispārīgajā gadījumā, viļņu vienādojums var būt arī vektoriāls vienādojums. Tomēr, ja mekletā funkcija $u=u(t,x,y,z)$ apraksta skalāru lauku, tad viļņu vienādojums pierakstās kā:

${\frac {\delta ^{2}u}{\delta t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\delta ^{2}u}{\delta x^{2}}}+{\frac {\delta ^{2}u}{\delta y^{2}}}+{\frac {\delta ^{2}u}{\delta z^{2}}}\right)$, kur $c$ ir pozitīva konstante, kas atbilst viļņa izplatīšanās ātrumam, $u$ ir skalārs lauks, piemēram, novirze, vai vispārīgāk kādai vērtībai, kas saglabājas (piemēram, spiediens, blīvums).

Tā kā tas ir diferenciālvienādojums, tam nepieciešami sākumnosacījumi un robežnosacījumi lai aprakstītu fizikālu situāciju.

Viļņa vienādojums vienā dimensijā

Izdevumā apskatītā situācija- dažādi spreigumi katrā no cilindra galiem.

Vienādojums vienkāršojas, ja to apskata vienā dimensijā:

${\frac {\delta ^{2}u}{\delta t^{2}}}=c^{2}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta x^{2}}}$

Izvedums

Viļņa vienādojumu vienā dimensijā var iegūt vairākos veidos (stīgas svārstības 2 dimensijās, ar huka likumu, ar elektromagnētisku vilni vakuumā u.c.). Viens veids ir apskatot deformāciju radītos mehāniskos spriegumus:

Apskatām homogēna cilindra nelielu fragmentu: mehāniskais spriegums $\sigma$ uz laukumu spiež vienā galā un otrā galā ir cita sprieguma vērtība, kas pie mazas telpas izmaiņas $dx$ ir vienāda ar $\sigma +{\frac {\delta \sigma }{\delta x}}dx$. Izmantojot otro Ņūtona likumu, iegūst izteiksmi:

$-\sigma +\sigma +{\frac {\delta \sigma }{\delta x}}dx=\rho dx{\frac {\delta ^{2}u}{\delta t^{2}}}$, kur $u$ ir novirze $x$ virzienā, $\rho$ ir stieņa blīvums (idejiski $\rho dx=dm$, apskatītā cilindra gabaliņa masa). Noīsinot un iztalot ar $dx$ iegūst: ${\frac {\delta \sigma }{\delta x}}=\rho {\frac {\delta ^{2}u}{\delta t^{2}}}$. Tālāk, ja pieņem lineāru sakarību starp mehānisko spriegumu un relatīvo pagarinājumu (elastīgas deformācijas), tad ir spēkā vienādojums $E\cdot \varepsilon =\sigma$, kur $E$ ir Junga modulis un $\varepsilon$ ir relatīvais pagarinājums. Relatīvo paragrinājumus savukārt var pierakstīt kā $\varepsilon ={\frac {\delta u}{\delta x}}$ un ievietojot lineārajā sakarībā ar mehānisko spriegumu iegūst $E\cdot {\frac {\delta u}{\delta x}}=\sigma$ un parciāli atvasinot šo pēc $x$ iegūst ${\frac {\delta \sigma }{\delta x}}=\underbrace {\frac {\delta E}{\delta x}} _{=0}\cdot {\frac {\delta u}{\delta x}}+E\cdot {\frac {\delta ^{2}u}{\delta x^{2}}}=E\cdot {\frac {\delta ^{2}u}{\delta x^{2}}}$ . Ievietojot atpakaļ pārveidotajā Ņūtona likumā iegūst:

$E\cdot {\frac {\delta ^{2}u}{\delta x^{2}}}=\rho {\frac {\delta ^{2}u}{\delta t^{2}}}$, jeb ${\frac {\delta ^{2}u}{\delta t^{2}}}={\frac {E}{\rho }}\cdot {\frac {\delta ^{2}u}{\delta x^{2}}}$, kur ${\frac {E}{\rho }}=c^{2}$ ir viļņa izplatīšanās ātruma kvadrāts.