Iracionāls skaitlis

Vikipēdijas lapa

Matemātikā iracionāls skaitlis ir jebkurš reāls skaitlis, kas nav racionāls (to nevar izteikt formā m/n, kur m ir vesels skaitlis, bet nnaturāls skaitlis). Iracionāli skaitļi ir, piemēram, √2, 3 − √5/2, π, e, ln(2) un 0,12345678910111213…, kur pēdējais skaitlis ir iegūts aiz komata pēc kārtas pierakstot visus naturālos skaitļus decimālajā pierakstā. Ja iracionālu skaitli pieraksta decimālajā skaitīšanas sistēmā, tad iegūst bezgalīgu neperiodisku decimāldaļskaitli.

Visu iracionālo skaitļu kopu apzīmē ar un tā ir racionālo skaitļu kopas papildinājums reālo skaitļu kopā :

Tā kā ir nesanumurējama kopa, bet ir sanumurējama, tad iracionālo skaitļu kopa ir nesanumurējama. Tas nozīmē, ka kopas kardinalitāte ir lielāka par kopas kardinalitāti (intuitīvi tas nozīmē, ka iracionālo skaitļu ir vairāk nekā racionālo) un kopas mērs kopā ir nulle (intuitīvi tas nozīmē, ka gandrīz jebkurš reāls skaitlis ir iracionāls).

Iracionalitātes pierādīšana[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pirmie skaitļi, par kuriem tika pierādīts, ka tie ir iracionāli, ir √2 un zelta griezums φ.

Īpašības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Ja iracionālam skaitlim pieskaita vai atņem racionālu skaitli, tad joprojām iegūst iracionālu skaitli. Līdzīgi, ja iracionālu skaitli reizina vai dala ar racionālu skaitli (kas nav 0), tad arī iegūst iracionālu skaitli.
  • Divu iracionālu skaitļu summa var būt racionāls skaitlis. Piemēram, √3 + (1 − √3) = 1.
  • Eksistē divi iracionāli skaitļi, kuru summa un reizinājums ir racionāli skaitļi. Piemēram, 2 + √3 un 2 − √3.

Neatrisinātas problēmas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Par nevienu no šiem skaitļiem joprojām nav zināms, vai tas ir racionāls vai iracionāls:

  • π + e un π − e (vispārīgā gadījumā: mπ + ne, kur m un n ir veseli skaitļi, kas atšķiras no nulles),
  • 2e, πe un π√2,
  • Katalāna konstante G = 0,91596559…,
  • Eilera konstante γ = 0,57721566….

Skatīt arī[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]