Topoloģiska telpa

Topoloģiska telpa ir matemātiska struktūra, kurā iespējams formāli definēt tādus jēdzienus kā konverģence, sakarīgums un nepārtrauktība. Topoloģiskas telpas jēdziens caurvij gandrīz katru mūsdienu matemātikas nozari. It īpaši tās tiek pētītas matemātikas nozarē, ko sauc par topoloģiju. Topoloģiska telpa ir ļoti vispārīgs un abstrakts jēdziens — to apraksta tikai trīs aksiomas. Gandrīz visas matemātikā lietotās telpas, piemēram, Hilberta telpa, ir topoloģiskas telpas speciāls gadījums.

Definīcija

Pirmās četras apakškopu saimes veido topoloģiju pār kopu {1,2,3}, bet pēdējās divas neveido. Kreisajā pusē esošā kopu saime nav topoloģa, jo tā nesatur kopu {2} un {3} apvienojumu {2,3}, bet labajā pusē esošā saime nesatur kopu {1,2} un {2,3} šķēlumu {2}.

Topoloģiska telpa ir sakārtots pāris (X,T), kur X ir patvaļīga kopa un T ir kopas X apakškopu saime, kurai piemīt šādas īpašības:

1. T satur tukšo kopu $\varnothing$ un X;
2. jebkura skaita kopas T elementu apvienojums arī pieder kopai T;
3. jebkura galīga skaita kopas T elementu šķēlums arī pieder kopai T.

Terminoloģija

Kopu T sauc par topoloģiju pār kopu X. Kopas X elementus parasti sauc par punktiem, lai gan tie var būt patvaļīgi matemātiski objekti, piemēram, funkcijas (atbilstošo telpu sauc par funkciju telpu). Kopai T piederošās kopas sauc par vaļējām kopām. Vaļējas kopas papildinājumu (kopā X) sauc par slēgtu kopu. Apzīmējumi "vaļējs" un "slēgts" var būt maldinoši. Piemēram, nav taisnība, ka jebkura kopa ir vai nu vaļēja vai slēgta — pusvaļējs intervāls [0,1) nav ne slēgts ne vaļējs reālo skaitļu kopā R ar standarta topoloģiju. Līdzīgi, kopa var vienlaicīgi būt gan slēgta, gan vaļēja. Piemēram, diskrētajā topoloģijā (skatīt piemēru zemāk) visas kopas ir gan vaļējas, gan slēgtas. Angliski šādas kopas sauc par clopen sets (no angļu: closed un open).

Piemēri

1. (X, T), kur X = {1, 2, 3, 4} un T = {$\varnothing$, {1, 2, 3, 4}}. Topoloģija T ir mazākā iespējamā topoloģija pār kopu X, jo jebkurai topoloģijai ir jāsatur tukšā kopa $\varnothing$ un X. Topoloģiju T = {$\varnothing$, X} sauc par triviālo topoloģiju pār X.
2. (X, T), kur X = {1, 2, 3, 4} un T = {$\varnothing$, {2}, {1,2}, {2,3}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}}.
3. (X, T), kur X = {1, 2, 3} un T = {$\varnothing$, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Topoloģija T ir lielākā iespējamā topoloģija pār kopu X, jo tā satur visas kopas X apakškopas. Šādu topoloģiju sauc par diskrēto topoloģiju.
4. (X, T), kur X = Z (veselie skaitļi) un T satur kopu Z un visas tās galīgās apakškopas nav topoloģija, jo, apvienojot visas galīga izmēra Z apakškopas, kas nesatur skaitli 0, iegūst bezgalīgu kopu, kas nav Z.

Skatīt arī

• T0 telpa
• T1 telpa
• T2 jeb Hausdorfa telpa
• T3 telpa

Papildu literatūra

• Armstrong, M. A.; Basic Topology, Springer; 1st edition (May 1, 1997). ISBN 0-387-90839-0.
• Bredon, Glen E., Topology and Geometry (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (October 17, 1997). ISBN 0-387-97926-3.
• Bourbaki, Nicolas; Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966).
• Čech, Eduard; Point Sets, Academic Press (1969).
• Fulton, William, Algebraic Topology, (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (September 5, 1997). ISBN 0-387-94327-7.
• Lipschutz, Seymour; Schaum's Outline of General Topology, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1968). ISBN 0-07-037988-2.
• Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.
• Runde, Volker; A Taste of Topology (Universitext), Springer; 1st edition (July 6, 2005). ISBN 0-387-25790-X.
• Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
• Willard, Stephen. General Topology. Dover Publications, 2004. ISBN 0-486-43479-6..

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Topological Space, MathWorld.
• Topological space Arhivēts 2009. gada 16. martā, Wayback Machine vietnē., PlanetMath.