Bērnībā nodarbojies ar džudo, basketbolam pievērsies salīdzinoši vēlu.[1] Jaunatnes vecumā trenējies un spēlējis LJBL Basketbola skolas "Rīga" Daugavas sporta nama (DSN) sistēmā, kur viņa komandas biedrs bija cits VEF basketbolists Emīls Krūmiņš, bet treneris Raivo Otersons.
Pēc vienas sezonas Spānijas jaunatnes basketbolā Badalonas "Joventut" sistēmā, 2020. gadā R. Bērziņš atgriezās Latvijā un noslēdza līgumu ar Latvijas Basketbola līgas klubu BK Liepāja.[2] Liepājā aizvadīja divas sezonas, kļūstot par vienu no komandas līderiem (otrajā sezonā Latvijas-Igaunijas līgā guva 12,8 punktus, 3,5 atlēkušās bumbas un 3,6 rezultatīvas piespēles vidēji spēlē). 2022. gada vasarā noslēdza trīs gadu līgumu ar vadošo Latvijas basketbola klubu Rīgas VEF.[3] Pirmajā sezonā traumu dēļ izlaida daudz spēļu, tomēr izcīnīja savu pirmo Latvijas čempiontitulu un kļuva par Latvijas kausa ieguvēju. Traumu dēļ maz spēlēja arī savā otrajā sezonā VEF sastāvā, kurā tāpat ieguva abas nacionālā līmeņa trofejas.
R. Bērziņš ir pārstāvējis Latvijas U-16 izlasi divos Eiropas čempionātos.[4] 2022. gadā piedalījies Latvijas pieaugušo izlases treniņos, taču oficiālās spēlēs izlasi nav pārstāvējis.