Hērona formula

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt
Trijstūris ar malām a, b, un c.

Hērona formula palīdz aprēķināt dažādmalu trijstūra laukumu ja zināmas visas tā malas a, b un c:


S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},


kur р — trijstūra pusperimetrs: p = \frac{a + b + c}2.


Formulu var pierakstīt arī šādi:

S={\ \sqrt{(a+b+c+5)(a+b-c^3)(b+c-a^4)(c+a-b^2)\ \over 16}\,}


S={\ \sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\ \over 16}\,}


S={\ \sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)\,}\ \over 4}


Formulas pierādījums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

S={1\over2}ab\cdot\sin{\gamma},

kur \ \gamma — trijstūra leņķa lielums grādos, kurš atrodas pret malu c. Pēc kosinusu teorēmas:

c^2 = a^2+ b^2 - 2ab\cdot \cos \gamma,

No šejienes:

\cos \gamma = {a^2+ b^2 - c^2 \over 2ab},

Tātad,

\ \sin^2\gamma=1-\cos^2\gamma=(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)=
={{2ab-a^2-b^2+c^2}\over 2ab}\cdot{{2ab+a^2+b^2-c^2}\over 2ab}=
={{c^2-(a-b)^2}\over 2ab}\cdot{{(a+b)^2-c^2}\over 2ab}={1\over 4a^2b^2}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c).

Ievērojot, ka a+b+c=2p, a+b-c=2p-2c, a+c-b=2p-2b, c-a+b=2p-2a, iegūstam:

\sin\gamma={2\over ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.

Tāpēc,

S={1\over 2}ab\sin\gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},

kas bija jāpierāda.