Hērona formula

Trijstūris ar malām a, b, un c.

Hērona formula palīdz aprēķināt dažādmalu trijstūra laukumu ja zināmas visas tā malas a, b un c:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

kur р — trijstūra pusperimetrs: $p = \frac{a + b + c}2$ .

Formulu var pierakstīt arī šādi:

$S={\ \sqrt{(a+b+c+5)(a+b-c^3)(b+c-a^4)(c+a-b^2)\ \over 16}\,}$

$S={\ \sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\ \over 16}\,}$

$S={\ \sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)\,}\ \over 4}$

[izmainīt šo sadaļu] Formulas pierādījums

$S={1\over2}ab\cdot\sin{\gamma}$ ,

kur $\ \gamma$ — trijstūra leņķa lielums grādos, kurš atrodas pret malu c. Pēc kosinusu teorēmas:

$c^2 = a^2+ b^2 - 2ab\cdot \cos \gamma,$

No šejienes:

$\cos \gamma = {a^2+ b^2 - c^2 \over 2ab},$

Tātad,

$\ \sin^2\gamma=1-\cos^2\gamma=(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)=$

$={{2ab-a^2-b^2+c^2}\over 2ab}\cdot{{2ab+a^2+b^2-c^2}\over 2ab}=$

$={{c^2-(a-b)^2}\over 2ab}\cdot{{(a+b)^2-c^2}\over 2ab}={1\over 4a^2b^2}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$ .

Ievērojot, ka $a + b + c = 2 p$ , $a + b - c = 2 p - 2 c$ , $a + c - b = 2 p - 2 b$ , $c - a + b = 2 p - 2 a$ , iegūstam:

$\sin\gamma={2\over ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$

Tāpēc,

$S={1\over 2}ab\sin\gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

kas bija jāpierāda.