Naturālais logaritms

Vikipēdijas raksts
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt
Naturālā logaritma funkcijas grafiks.

Naturālais logaritms ir logaritms, kura bāze ir skaitlis \ e, e=2,7182818...\,. Naturālo logaritmu no skaitļa \ x apzīmē ar \ \ln x. Līdz ar to  \log_e x = \ln x\,. Vienkārši runājot, \ \ln x ir kāpinātājs, kurā kāpinot skaitli e, iegūtu skaitli x.
Ir pareizas šādas vienādības:

Visiem reāliem x

\ln e^x = x.\,\!

un visiem pozitīviem x

e^{\ln x} = x.\,

Definīcija, izmantojot integrāli[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

\ \ln x var tikt definēts kā laukums zem funkcijas y = \frac{1}{x} grafika robežās no 1 līdz a, tāpēc to var izteikt ar integrāli

\ln a =\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.

Īpašības[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • ln x ir definēts visiem x > 0
  • ln x ir augoša funkcija
  •  \ln(xy) = \ln x + \ln y \!\,
  • Visiem x > 0  \ln x \leq x - 1.
  • \ln'x = \frac{1}{x}

Robežas[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.\,
  • Ja a > 0, tad \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^a} = 0.\,

Izvirzījums rindā[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad{\rm ja}\quad \left|x\right| \leq 1\quad

izņemot  x = -1.

Logaritmiskā atvasināšana[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Dažreiz naturālie logaritmi tiek izmantoti lai atvasinātu kādu funkciju. Piemēram, (x^x)' = (e^{x \ln x})' = e^{x \ln x} \cdot (x \ln x)' = x^x \cdot (1+ \ln x).

Skatīt arī[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]