Naturālais logaritms

Naturālā logaritma funkcijas grafiks.

Naturālais logaritms ir logaritms, kura bāze ir skaitlis $\ e$, $e=2,7182818...\,$. Naturālo logaritmu no skaitļa $\ x$ apzīmē ar $\ \ln x$. Līdz ar to $\log_e x = \ln x\,$. Vienkārši runājot, $\ \ln x$ ir kāpinātājs, kurā kāpinot skaitli e, iegūtu skaitli x.
Ir pareizas šādas vienādības:

Visiem reāliem x

$\ln e^x = x.\,\!$

un visiem pozitīviem x

$e^{\ln x} = x.\,$

Definīcija, izmantojot integrāli

$\ \ln x$ var tikt definēts kā laukums zem funkcijas $y = \frac{1}{x}$ grafika robežās no 1 līdz $a$, tāpēc to var izteikt ar integrāli

$\ln a =\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.$

Īpašības

• ln $x$ ir definēts visiem x > 0
• ln $x$ ir augoša funkcija
• $\ln(xy) = \ln x + \ln y \!\,$
• Visiem $x > 0$ $\ln x \leq x - 1$.
• $\ln'x = \frac{1}{x}$

Robežas

• $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.\,$
• Ja $a > 0$, tad $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^a} = 0.\,$

Izvirzījums rindā

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad{\rm ja}\quad \left|x\right| \leq 1\quad$

izņemot $x = -1$.

Logaritmiskā atvasināšana

Dažreiz naturālie logaritmi tiek izmantoti lai atvasinātu kādu funkciju. Piemēram, $(x^x)' = (e^{x \ln x})' = e^{x \ln x} \cdot (x \ln x)' = x^x \cdot (1+ \ln x)$.

Skatīt arī

• Logaritms