1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt
Pirmo dažu tūkstošu parciālo summu attēlojums.

1 − 2 + 3 − 4 + ... matemātikā ir bezgalīga rinda, kurā visu laiku tiek pieskaitīti skaitļi, kas pēc vērtības ir par vienu lielāki nekā iepriekšējais skaitlis, kā arī mainās šī skaitļa zīme, tas ir, no pluss (+) uz mīnuss (−) un pretēji. Izmantojot summas saskaitīšanas zīmi, to pieraksta šādi:

Summation from n equals 1 to m of the series n * (-1)^(n-1)

Kaut arī šī ir diverģējoša rinda ar nemitīgi pieaugošu summu, ir iespējams pierādīt, ka visu tās locekļu summa ir 14.

Saskaitot četras rindas 1 − 2 + 3 − 4 + …, kopijas un izmantojot tikai nobīdes un locekļu saskaitīšanu pa pāriem, atliek viena vienība. Baltie aplīši ir pozitīvās vienības (+1), sarkanie ir negatīvās vienības (−1), bet zaļais aplītis — pārpalikusī pozitīvā vienība

Ja izteiksmei s = 1 − 2 + 3 − 4 + … ir jēga attiecībā uz kādu skaitli s, tad ar formāla pārveidojuma palīdzību iespējams apgalvot, ka s vērtība vienāda ar s = 14:


\begin{array}{rclllll}
4s&=& &(1-2+3-4+\cdots) & {}+(1-2+3-4+\cdots) & {}+(1-2+3-4+\cdots) &{}+(1-2+3-4+\cdots) \\
 &=& &(1-2+3-4+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) &{}-1+(3-4+5-6\cdots) \\
 &=&1+[&(1-2-2+3) & {}+(-2+3+3-4) & {}+(3-4-4+5) &{}+(-4+5+5-6)+\cdots] \\
 &=&1+[&0+0+0+0+\cdots] \\
4s&=&1
\end{array}

Tādēļ s=\frac{1}{4}. To iespējams attēlot arī grafiski.