Pitagora teorēma

a²+b²=c²

Eiklīda ģeometrijā Pitagora teorēma ir sakarība starp taisnleņķa trijstūra malu garumiem un tā hipotenūzas garumu: ja taisnleņķa trijstūra katešu garumi ir a un b, bet hipotenūzas garums ir c, tad a²+b²=c². Pitagora teorēma skan šādi: Taisnleņķa trijstūrī hipotenūzas garuma kvadrāts vienāds ar abu katešu garumu kvadrātu summu.

Teorēma ir nosaukta par godu sengrieķu matemātiķim un filozofam Pitagoram, kurš to pirmais ir pierādījis.

Trīs praktiski pielietojamas teorēmas formas:

$c=\sqrt{b^2+a^2},$     $b=\sqrt{c^2-a^2}$   un  $a=\sqrt{c^2-b^2} .$

Pierādījumi

Vizuāls (intuitīvs) pierādījums:

Kopumā Pitagora teorēmai ir zināmi vairāk nekā 200 dažādi pierādījumi, populārākais ir Pitagora bikses. Pitagora teorēmas vispārinājums ir Ptolemaja teorēma un de Guā teorēma.

Pierādījums, izmantojot līdzīgu trijstūri

$\frac{d}{a} = \frac{a}{c} \quad \Rightarrow \quad d = \frac{a^2}{c}\quad (1)$

$\frac{e}{b} = \frac{b}{c} \quad \Rightarrow \quad e = \frac{b^2}{c}\quad (2)$

No attēla $c = d + e \,\!$. Un, aizstājot izteiksmes (1) un (2):

$c = \frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{c}$

Reizinot ar c:

$c^2 = a^2 + b^2 \,\!.$

Sekas

Kvadrāta diagonāles

$d^2=l^2+l^2=2\,l^2.$

$d =\sqrt{2\,l^2}=l \sqrt{2}.$

Vienādmalu trīsstūra augstums

$l^2=h^2+\left(\frac{l}{2}\right)^2=h^2+\frac{l^2}{4}$

$h^2=\frac{3\,l^2}{4}.$

$h= \sqrt{\frac{3\,l^2}{4}}= \frac{l\sqrt3}{2}.$

Taisnleņķa trijstūra pazīme

Ja trijstūra vienas malas garuma kvadrāts vienāds ar abu pārējo malu garumu kvadrātu summu, tad šīs malas pretleņķis ir taisns un trijstūris ir taisnleņķa.

Piemērs: Vai trijstūris, kam malu garumi ir 6cm, 7cm un 9 cm ir taisnleņķa?

Risinājums: Izvēlas garāko malu un pārbauda, vai izpildās Pitagora teorēma: 9²=6²+7² redzam, ka 81≠36+49, tātad šis nav taisnleņķa trijstūris.

Skatīt arī

• Taisnleņķa trijstūris
• Katete
• Hipotenūza
• Pitagora trijnieks