0,999...

0,999..., kas arī tiek rakstīts kā 0,(9), $0,\bar{9}$ vai $0,\dot{9}$, matemātikā ir periodisks decimāldaļskaitlis, kas ir reāls skaitlis un ir vienāds ar 1. Citiem vārdiem sakot, skaitlis "0,999..." un "1" ir viens un tas pats skaitlis. Šo vienādību jau sen ir pieņēmuši profesionāli matemātiķi un pasniegta mācību grāmatās. Šīs identitātes atšķirīgie pierādījumi ir noformulēti ar dažādu precizitāti, reālo skaitļu attīstību, otršķirīgiem pieņēmumiem, vēsturisku kontekstu un mērķauditoriju.

Kā pierādīt, ka 0,999... = 1

$\begin{align} 0.333\dots &{} = \frac{1}{3} \\ 3 \times 0.333\dots &{} = 3 \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{3} \\ 0.999\dots &{} = 1 \end{align}$

$\begin{align} 0.111\dots & {} = \frac{1}{9} \\ 9 \times 0.111\dots & {} = 9 \times \frac{1}{9} = \frac{9 \times 1}{9} \\ 0.999\dots & {} = 1 \end{align}$

$1 = \frac{9}{9} = 9 \times \frac{1}{9} = 9 \times 0.111\dots = 0.999\dots$

$\begin{align} x &= 0.999\ldots \\ 10 x &= 9.999\ldots \\ 10 x - x &= 9.999\ldots - 0.999\ldots \\ 9 x &= 9 \\ x &= 1 \\ 0.999\ldots &= 1 \end{align}$