Reāls skaitlis

Vikipēdijas raksts

Reāli skaitļi ir visi racionālie skaitļi un visi iracionālie skaitļi, ieskaitot arī nulli. Reāli skaitļi veido reālo skaitļu kopu, kuru parasti apzīmē ar $\mathbb{R}$ . Reālie skaitļi ir, piemēram, $0 \$ , $2 \$ , $- \frac{1}{3} \$ , $\pi \$ , $\sqrt{7} \$ utt.

Ir zināms, ka visu reālo skaitļu kopas elementi ir pierakstāmi kā bezgalīgi decimāldaļskaitļi. Piemēram, $2=2,0000... \$ un $2=1,9999... \$ , $\frac{1}{3}=0,3333...$ , $\sqrt{2}=1,4142...$ utt. Daudzus reālos skaitļus var pierakstīt kā galīgus decimāldaļskaitļus. Piemēram, $\frac{1}{4}=0,2500... = 0,25$ .

[izmainīt šo sadaļu] Reālo skaitļu kopas pamatteorēma

Lai kādi būtu divi dažādi reāli skaitļi $a \$ un $b \$ , vienmēr ir bezgalīgi daudz tādu reālu skaitļu, kā racionālu, tā iracionālu, kuri atrodas starp $a \$ un $b \$ .

[izmainīt šo sadaļu] Galvenās reālo skaitļu kopas īpašības

Jebkuriem diviem reāliem skaitļiem $x \$ un $y \$ ir spēkā tieši viena no izteiksmēm: $x = y \$ , $x < y \$ vai $x > y \$ . Tas nozīmē, ka šī kopa ir sakārtota.
Reālo skaitļu kopā nav vismazākā un vislielākā elementa.
Reālo skaitļu kopa ir bezgalīga (tajā ietilpst bezgalīgi daudz reālo skaitļu).
Reālo skaitļu kopā ir definētas šādas darbības: saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana (izņemot dalīšana ar nulli), saknes aprēķināšana (izņemot pāra pakāpes sakni no negatīva skaitļa).
Starp jebkuriem diviem dažādiem reāliem skaitļiem atrodas bezgalīgi daudz citu reālu skaitļu; šo īpašību sauc par reālo skaitļu kopas blīvuma īpašību.
Reālo skaitļu kopa ir nepārtraukta.
Reālo skaitļu kopas apjoms ir lielāks par naturālo skaitļu kopas apjomu.

Matemātikā bieži lieto reālo skaitļu kopas apakškopas, kuras sauc par intervāliem.
Bez reālajiem skaitļiem eksistē arī daži skaitļu vispārinājumi, kas vairs nav reāli skaitļi, piemēram, kompleksie skaitļi un kvaternioni.

[izmainīt šo sadaļu] Reālā skaitļa absolūtā vērtība

Galvenais raksts: Modulis (matemātika)

Par reālā skaitļa $a \$ absolūto vērtību (jeb moduli) $|a| \$ sauc skaitli $a \$ , ja $a \ge 0 \$ , un skaitli $-a \$ , ja $a < 0 \$ . Piemēram, $|+3| = 3 \$ un $|-3| = - (-3) = 3 \$ . No definīcijas seko, ka nevienādība $|a| \le b \$ , kur $b > 0 \$ , ir līdzvērtīga ar nevienādībām $-b \le a \le +b \$ . Pamatojoties uz definīciju, viegli pierādāmas reālo skaitļu absolūto vērtību īpašības.

Summas absolūtā vērtība nav lielāka par saskaitāmo absolūto vērtību summu: $|a + b| \le |a| + |b| \$ . Piemēram, $|-6+4| < |-6| + |4| \$ , jo $|-6+4| = 2 \$ , bet $|-6|+|4| = 10 \$ .
Starpības absolūtā vērtība nav mazāka par mazināmā un mazinātāja absolūto vērtību starpību: $|a-b| \ge |a| - |b| \$ . Piemēram, $|4-6| > |4| - |6| \$ , jo $|4-6|=2 \$ , bet $|4| - |6| = -2 \$ .
Reizinājuma absolūtā vērtība ir vienāda ar reizinātāju absolūto vērtību reizinājumu: $|a \cdot b| = |a| \cdot |b| \$ .
Dalījuma absolūtā vērtība ir vienāda ar dalāmā un dalītāja absolūto vērtību dalījumu: $| \frac{a}{b} | = \frac{|a|}{|b|} \$ .