Sarusa metode

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Sarusa metode lineārajā algebrā ir shēma, kura atvieglo 3×3 matricu determinanta un vektoriālo reizinājumu aprēķināšanu ar roku. Shēma palīdz pareizi sagrupēt reizināmos elementus un salikt pareizas aritmētiskas zīmes. Metode ir nosaukta franču matemātiķa Pjēra Frederika Sarusa vārdā. Lielākām matricām nekā 3×3 šī shēma nav izmantojama.

Pieņemsim, dota 3×3 matrica

\mathbf{A} =
\begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{pmatrix}

Tās determinants veidojas no 6 grupām pa 3 reizinātājiem katrā. Visus šos elementus var viegli noteikt, izmantojot sekojošu shēmu:

Sarusa shēma

Šim nolūkam divas pirmās matricas kolonnas pieraksta blakus matricai no labās puses. Iegūtās 3×5 tabulas elementus savieno ar slīpām līnijām, kā tas ir parādīts shēmā. Uz melnajām līnijām uzvērto elementu reizinājumus ņem ar plusa zīmi, bet uz sarkanajām līnijām uzvērto - ar mīnusa zīmi. Šādi iegūst sekojošu determinanta formulu:

 \det(\mathbf{A}) = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb.

Izmantošana vektoriālajiem reizinājumiem[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Tā kā vektoriālo reizinājumu var izteikt determinanta veidā, tā aprēķināšanai arī var izmantot Sarusa metodi.
Pieņemsim, ir jāsareizina sekojoši vektori \mathbf{a} un \mathbf{b}:

\mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}
\mathbf{b} = b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k}

Vektoriālais reizinājums tiek izteikts determinanta veidā:

\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}

Izmantojot augšminēto "uzvēršanas" shēmu:


\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \mathbf{i}a_2b_3 + \mathbf{j}a_3b_1 + \mathbf{k}a_1b_2 - \mathbf{i}a_3b_2 - \mathbf{j}a_1b_3 - \mathbf{k}a_2b_1.