Determinants

Vikipēdijas raksts
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Lineārajā algebrā determinants ir lielums, ko var piekārtot jebkurai kvadrātveida matricai. Matricas A determinantu parasti apzīmē ar det(A) vai |A| un to var izteikt kā polinomu no matricas A elementiem.

Definīcija[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Aksiomātiska definīcija[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Determinants ir definēts jebkurai kvadrātveida matricai pār komutatīvu gredzenu R (piemēram, veseli, reāli vai kompleksi skaitļi). Funkciju ƒ: Rn×nR, kas n×n matricām pār gredzenu R piekārto elementus no R, sauc par determinantu, ja tai izpildās šādas trīs īpašības:

  1. ƒ(I) = 1, kur I ir n×n vienības matrica (šeit 1 apzīmē gredzena R vienības elementu),
  2. funkcija ƒ ir lineāra attiecībā pret matricas rindiņām (skatīt zemāk),
  3. ƒ(A) = 0, ja jebkuras divas matricas A rindiņas ir vienādas (šeit 0 apzīmē gredzena R nulles elementu).

Var pierādīt, ka eksistē viena vienīga funkcija ƒ, kurai izpildās šīs trīs īpašības.[1] Šo funkciju parasti apzīmē ar "det".

Linearitāte[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja A ir n×n matrica un ar ri apzīmē rindas vektoru, kas vienāds ar šīs matricas i-to rindiņu, tad matricu A var pierakstīt šādi:


  A = \begin{bmatrix} r_1 \\ r_2 \\ \vdots \\ r_n \end{bmatrix}.

Funkciju ƒ: Rn×nR sauc par lineāru attiecībā pret matricas rindiņām, ja tai izpildās šāda īpašība:


  f \begin{pmatrix} \begin{bmatrix} r_1 \\ r_2 \\ \vdots \\ \alpha r_i + \beta r'_i \\ \vdots \\ r_n \end{bmatrix} \end{pmatrix}
  = \alpha f \begin{pmatrix} \begin{bmatrix} r_1 \\ r_2 \\ \vdots \\ r_i  \\ \vdots \\ r_n \end{bmatrix} \end{pmatrix}
  + \beta  f \begin{pmatrix} \begin{bmatrix} r_1 \\ r_2 \\ \vdots \\ r'_i \\ \vdots \\ r_n \end{bmatrix} \end{pmatrix},

kur α un β ir patvaļīgi gredzena R elementi un i ir vesels skaitlis no 1 līdz n.

Formula 2×2 matricām[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]


  \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a d - b c.

Formula 3×3 matricām[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Metode determinanta aprēķināšanai 3×3 matricai.

\begin{align}
   \begin{vmatrix}
     a & b & c \\
     d & e & f \\
     g & h & i
   \end{vmatrix}
&= a \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix}
 - b \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix}
 + c \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} \\
&= a (ei - fh) - b (di - fg) + c (dh - eg) \\
&= a e i + b f g + c d h - c e g - b d i - a f h.
\end{align}

Piemēram, ja


A =
\begin{pmatrix}
  -2 & 2 & -3 \\
  -1 & 1 &  3 \\
   2 & 0 & -1
\end{pmatrix}

tad


\begin{align}
  \det(A)
  &= \bigl( (-2) \cdot 1 \cdot (-1) \bigr)
   + \bigl( 2 \cdot 3 \cdot 2 \bigr)
   + \bigl( (-3) \cdot (-1) \cdot 0 \bigr) \\
  &- \bigl( 2 \cdot 1 \cdot (-3) \bigr)
   - \bigl( 0 \cdot 3 \cdot (-2) \bigr)
   - \bigl( (-1) \cdot (-1) \cdot 2 \bigr) \\
  &= 2 + 12 + 0 - (-6) - 0 - 2 = 18.
\end{align}

Lai aprēķinātu determinantu 3×3 matricai, var izmantot Sarusa metodi.

Formulas n×n matricām[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Determinantu n×n matricai


  A = \begin{pmatrix}
        a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
        a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
        \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots \\
        a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n}
      \end{pmatrix}

var izteikt kā polinomu no tās elementiem ai,j. Šo polinomu parasti apzīmē ar det(A) un tas satur n! saskaitāmos. Katrs no šiem saskaitāmajiem ir vai nu ar plus vai mīnus zīmi un sastāv no n matricas Aelementu reizinājuma (pa vienam no katras rindas un kolonnas). Šo polinomu var izteikt ar vairāku ekvivalentu formulu palīdzību.

Leibnica formula[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Bieži vien determinantu definē ar Leibnica formulas palīdzību:


  \begin{align}
    \det(A) &= \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} \cdots a_{n,\sigma(n)} \\
            &= \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}.
  \end{align}

Šajā formulā Sn apzīmē simetrisko grupu jeb kopu, kas sastāv no visām n elementu permutācijām, sgn(σ) ir permutācijas σ zīme, σ(i) ir skaitlis no 1 līdz n, uz kuru σ attēlo i.

Intuitīvi par permutāciju σ var domāt kā par virkni garumā n, kas satur skaitļus no 1 līdz n patvaļīgā secībā tā, ka katrs skaitlis parādās tieši vienu reizi; Sn ir kopa no visām šādām virknēm, σ(i) ir i-tais skaitlis virknē σ, bet zīme sgn(σ) ir vienāda ar +1 vai -1, atkarībā no tā vai virknē σ esošos skaitļus nepieciešams mainīt vietām pāra vai nepāra skaitu reižu, lai to sakārtotu augošā secībā.

Summa ar Levi-Čivita simbolu[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Leibnica formulā esošā summa ir pār visām virknēm σ garumā n, kurā katrs no skaitļiem no 1 līdz n parādās tieši vienu reizi. Šo summu var pārrakstīt tā, lai tajā parādītos visas iespējamās virknes garumā n (tā satur skaitļus no 1 līdz n un katrs no tiem drīkst parādīties patvaļīgi daudz reižu — sākot no nevienas, līdz pat n reizēm). Šī summa sastāv no nn saskaitāmajiem, taču lielākā daļa no tiem ir vienāda ar nulli:


  \begin{align}
    \det A
    &= \sum_{i_1 ,i_2, \ldots, i_n = 1}^n
        \varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n}
        a_{1,i_1} a_{2,i_2} \cdots a_{n,i_n} \\
    &= \sum_{i_1 ,i_2, \ldots, i_n = 1}^n
       \varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n}
       \prod_{k=1}^n a_{k,i_k}.
  \end{align}

Šajā formulā \varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} ir Levi-Čivita simbols, kas ir vienāds ar 0, ja virkne i1i2in nav permutācija, bet pretējā gadījumā ir vienāds ar šīs permutācijas zīmi.

Laplasa formula[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja A = (a1,1) ir 1×1 matrica, tad det(A) = a1,1. Lielākām matricām determinantu var aprēķināt rekursīvi ar Laplasa formulas palīdzību. Tā izsaka dotās matricas determinantu kā funkciju no mazāku apakšmatricu determinantiem. Šo procesu sauc par determinanta izvirzīšanu pēc attiecīgās rindiņas vai kolonnas:


  \begin{align}
    \det(A) &= \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{i,j} M_{i,j} \\
            &= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{i,j} M_{i,j}.
  \end{align}

Pirmajā izteiksmē indekss i ir fiksēts un tā atbilst izvirzījumam pēc i-tās rindiņas, bet otrajā izteiksmē indekss j ir fiksēts un tā atbilst izvirzījumam pēc j-tās kolonnas. Šajās formulās Mi,j apzīmē determinantu apakšmatricai, kas iegūta atmetot matricas A i-to rindiņu un j-to kolonnu (šos lielumus sauc par matricas A minoriem).

Determinanta ģeometriskā interpretācija[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Laukums paralelogramam, kuru veido vektori (a,b) un (c,d).

Paralelograma laukums ir vienāds ar determinanta absolūto vērtību matricai, kas sastāv no paralelogramu veidojošajiem vektoriem.

Īpašības[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pielietojums[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Skatīt arī[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Atsauces[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Artin, Teorēma 3.14, 24. lpp.

Papildu literatūra[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Latviski:

Angliski:

  • Lang, Serge (1987), Linear algebra, Undergraduate texts in mathematics (3 izd.), Springer, ISBN 978-0-38-796412-6, Nodaļa VI, Determinants, 140. lpp.
  • Lang, Serge (1986), Introduction to Linear algebra, Undergraduate texts in mathematics (2 izd.), Springer, ISBN 978-0-38-796205-4, Nodaļa VII, Determinants, 195. lpp.

Vāciski:

Ārējās saites[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]