Elipse

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt
Elipse iegūta kā konusa šķēlums ar plakni
Elipse

Elipse (grieķu: ελλειφις — ‘trūkums’) ir plaknes līnija, kuras jebkura punkta attālumu līdz diviem fiksētiem punktiem summa ir konstanta. Šos divus fiksētos punktus sauc par elipses fokusiem. Elipsi var iegūt kā riņķa līnijas projekciju citā plaknē, kā arī šķeļot konusu ar plakni un cilindru ar plakni. Elipses speciāls gadījums ir riņķa līnija.

Īpašības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Elipse ir gluda, slēgta un izliekta plaknes līnija;
  • Elipsei ir divas simetrijas asis, kas ir savstarpēji perpendikulāras.
  • Elipse ir otrās kārtas plaknes līkne.

Vienādojums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Elipses kanoniskais vienādojums ir  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, kur  a \ un  b \ ir elipses pusasis.

Elipses parametriskie vienādojumi ir

\begin{cases} x = a \cos t\ \\ y = b \sin t \end{cases}

kur t \in [0, 2 \pi].

Formulas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Elipses perimetra aprēķināšana[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Elipses, ar pusasīm a un b, perimetrs ir vienāds ar

P(a, b) = \int_0^{2 \pi} \sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t} dt

Ja elipses pusasis a un b ir vienādas, tad elipse ir riņķa līnija ar rādiusu a, tāpēc tās perimetrs ir 2 \pi a. Savukārt, ja elipses pusasis a un b ir dažādas, tad šādas elipses perimetrs ir izsakāms ar eliptiskajiem integrāļiem, kas nav izsakāmi ar elementārajām funkcijām. Tāpēc ir izveidotas daudzas elipses perimetra tuvinātas aprēķināšanas. Piemēram:

  • P(a, b) \approx 2 \pi \left( \frac{a^\frac{3}{2} + b^\frac{3}{2}}{2} \right)^ \frac{2}{3}
  • P(a, b) \approx \pi \left(3(a+b)- \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right).

Elipses optiskā īpašība[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Elipsei piemīt šāda optiskā īpašība: ja vienā tās fokusā novieto gaismas avotu, tad no tā izejošie stari pēc atstarošanās nonāk otrā elipses fokusā.

Skatīt arī[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Eric W. Weisstein, Ellipse, MathWorld.