Hiperboliskās funkcijas

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt
Hiperboliskā sinusa sh, hiperboliskā kosinusa ch un hiperboliskā tangensa th grafiki

Hiperboliskās funkcijas ir kompleksā vai reālā mainīgā analītiskās funkcijas. Tās ir analogās funkcijas trigonometriskajās funkcijām. Vienkāršākās hiperboliskās funkcijas ir hiperboliskais sinuss "sh" un hiperboliskais kosinuss "ch", no kuriem ir atvasināts hiperboliskais tangenss "th", hiperboliskais kosekanss "csch", hiperboliskais sekanss "sech" un hiperboliskais kotangenss "cth".

Hiperboliskās funkcijas parasti izmanto dažādu procesu (galvenokārt vienkāršu) raksturošanai, funkciju aproksimācijai.

Algebriskās izteiksmes[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Hiperboliskais sinuss:
\operatorname{sh} x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x} = \frac {1 - e^{-2x}} {2e^{-x}}
  • Hiperboliskais kosinuss:
\operatorname{ch} x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x} = \frac {1 + e^{-2x}} {2e^{-x}}
  • Hiperboliskais tangenss:
\operatorname{th} x = \frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} = \frac{1 - e^{-2x}} {1 + e^{-2x}}
  • Hiperboliskais kotangenss:
\operatorname{cth} x = \frac{\operatorname{ch} x}{\operatorname{sh} x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = \frac{1 + e^{-2x}} {1 - e^{-2x}}
  • Hiperboliskais sekanss:
\operatorname{sech}\,x = \left(\operatorname{ch} x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1} = \frac{2e^{-x}} {1 + e^{-2x}}
  • Hiperboliskais kosekanss:
\operatorname{csch}\,x = \left(\operatorname{sh} x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1} = \frac{2e^{-x}} {1 - e^{-2x}}

Hiperboliskās funkcijas var izteikt arī ar trigonometriskajām funkcijām:

  • Hiperboliskais sinuss:
\operatorname{sh} x =  - {\rm{i}} \sin {\rm{i}}x \!
  • Hiperboliskais kosinuss:
\operatorname{ch} x = \cos {\rm{i}}x \!
  • Hiperboliskais tangenss:
\operatorname{th} x = -{\rm{i}} \operatorname{tg} {\rm{i}}x \!
  • Hiperboliskais kotangenss:
\operatorname{cth} x = {\rm{i}}  \operatorname{ctg} {\rm{i}}x \!
  • Hiperboliskais sekanss:
\operatorname{sech}\,x = \sec { {\rm{i}} x} \!
  • Hiperboliskais kosekanss:
\operatorname{csch}\,x = {\rm{i}}\,\csc\,{\rm{i}}x \!

kur i ir imaginārā vienība: i2 = −1.

Attiecības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pāra un nepāra funkcijas:

\begin{align}
  \operatorname{sh} -x &= -\operatorname{sh} x \\
  \operatorname{ch} -x &=  \operatorname{ch} x
\end{align}

Tātad:

\begin{align}
                \operatorname{th} -x &= -\operatorname{th} x \\
                \operatorname{cth} -x &= -\operatorname{cth} x \\
  \operatorname{sech} -x &=  \operatorname{sech} x \\
  \operatorname{csch} -x &= -\operatorname{csch} x
\end{align}

Hiperboliskais sinuss un hiperboliskais kosinuss apmierina vienādību

\operatorname{ch}^2 x - \operatorname{sh}^2 x = 1\,

Inversās hiperboliskās trigonometriskās funkcijas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Inversās hiperboliskās trigonometriskās funkcijas var izteikt ar naturāllogaritmiem

\begin{align}
  \operatorname {arsh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) \\

  \operatorname {arch} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right); x \ge 1 \\

  \operatorname {arth} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right); \left| x \right| < 1 \\

  \operatorname {arcth} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right); \left| x \right| > 1 \\

  \operatorname {arsech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} \right); 0 < x \le 1 \\

  \operatorname {arcsch} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\left| x \right|} \right); x \ne 0
\end{align}

Diferenciāļi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

 \frac{d}{dx}\operatorname{sh} x = \operatorname{ch} x \,
 \frac{d}{dx}\operatorname{ch} x = \operatorname{sh} x \,
 \frac{d}{dx}\operatorname{th} x = 1 - \operatorname{th}^2 x = \operatorname{sech}^2 x = 1/\operatorname{ch}^2 x \,
 \frac{d}{dx}\operatorname{cth} x = 1 - \operatorname{cth}^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -1/\operatorname{sh}^2 x \,
 \frac{d}{dx}\ \operatorname{csch}\,x = - \operatorname{cth} x \ \operatorname{csch}\,x \,
 \frac{d}{dx}\ \operatorname{sech}\,x = - \operatorname{th} x \ \operatorname{sech}\,x \,
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arch}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arth}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcsch}\,x =-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsech}\,x =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcth}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}

Nenoteiktie integrāļi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

\begin{align}
  \int \operatorname{sh} (ax)\,dx &= a^{-1} \operatorname{ch} (ax) + C \\
  \int \operatorname{ch} (ax)\,dx &= a^{-1} \operatorname{sh} (ax) + C \\
  \int \operatorname{th} (ax)\,dx &= a^{-1} \ln (\operatorname{ch} (ax)) + C \\
  \int \operatorname{cth} (ax)\,dx &= a^{-1} \ln (\operatorname{sh} (ax)) + C \\
  \int \operatorname{sech} (ax)\,dx &= a^{-1} \operatorname{arctg} (\operatorname{sh} (ax)) + C \\
  \int \operatorname{csch} (ax)\,dx &= a^{-1} \ln \left( \operatorname{th} \left( \frac{ax}{2} \right) \right) + C
\end{align}
\begin{align}
   \int {\frac{du}{\sqrt{a^2 + u^2}}} & = \operatorname{sh} ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\
   \int {\frac{du}{\sqrt{u^2 - a^2}}} &= \operatorname{ch} ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\
   \int {\frac{du}{a^2 - u^2}} & =  a^{-1}\operatorname{th} ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C; u^2 < a^2 \\
   \int {\frac{du}{a^2 - u^2}} & =  a^{-1}\operatorname{cth} ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C; u^2 > a^2 \\
   \int {\frac{du}{u\sqrt{a^2 - u^2}}} & = -a^{-1}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\
   \int {\frac{du}{u\sqrt{a^2 + u^2}}} & = -a^{-1}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right| + C
\end{align}

kur C ir integrēšanas konstante.

Funkciju izvirzījumi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Funkciju izvirzījumi Teilora rindā:

\operatorname{sh} x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\operatorname{ch} x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}
\begin{align}

                   \operatorname{th} x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \\

                   \operatorname{cth} x &= x^{-1} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi \\

  \operatorname {sech}\, x &= 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \\

  \operatorname {csch}\, x &= x^{-1} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi

\end{align}

where

B_n \, ir n-tais Bernulli skaitlis
E_n \, ir n-tais Eilera skaitlis

Skatīt arī[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]