Apskatīt Maksvela vienādojumi izejas kodu

{{Elektrodinamika}}
[[Fizika|Fizikā]] '''Maksvela vienādojumi''' ir četru [[diferenciālvienādojums|diferenciālvienādojumu]] sistēma, kas apraksta [[elektromagnētiskais lauks|elektromagnētisko lauku]] [[vakuums|vakuumā]]. Tie raksturo [[elektriskais lauks|elektriskā]] un [[magnētiskais lauks|magnētiskā]] lauka savstarpējo mijiedarbību, kā arī to saistību ar [[elektriskais lādiņš|elektrisko lādiņu]] un [[strāvas blīvums|strāvas blīvumu]]. Šos vienādojumus [[1861]]. gadā atklāja skotu fiziķis un matemātiķis [[Džeimss Maksvels]].

== Integrālie Maksvela vienādojumi ==
'''Integrālie Maksvela vienādojumi''' ir [[elektromagnētiskais lauks|elektromagnētiskā lauka]] teorijas postulāti.

# <math>\oint_l \vec{E} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} = - \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d} t} \ </math> un <math>\Phi = \int_S \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} \ </math>
# <math>\oint_S \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} =  0 \ </math>
# <math>\oint_l \vec{B} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} = \mu_0 (I + I_D) \ </math> un <math>N = \int_S \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} \ </math>
# <math>\oint_S \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} = \frac{q}{\epsilon_0} </math>
Šiem integrālajiem [[vienādojums|vienādojumiem]] mēdz pievienot vēl arī [[Elektriskā lādiņa nezūdamības likums|elektriskā lādiņa nezūdamības likumu]]
# <math>I = - \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} \ </math>

=== Vienādojumu sistēmas pāri ===
Vienādojumu sistēma sastāv no diviem vienādojumu pāriem. 
* Pirmais vienādojumu pāris (1. un 2.) ir [[homogēns|homogēni]] vienādojumi [[vektors|vektoriem]] <math>\vec{E} \ </math> un <math>\vec{B} \ </math>. Šie vienādojumi ir spēkā visiem [[elektromagnētiskais lauks|elektromagnētiskajiem laukiem]] neatkarīgi no tā, kādi ir to [[elektromagnētiskā lauka avoti|avoti]] (t.i., [[lādiņš|lādiņi]] un [[elektriskā strāva|strāvas]])
* Otrs vienādojumu pāris (3. un 4.) ir nehomogēni vienādojumi: tie satur lauka avotus <math>q \ </math> un <math>I \ </math>, kurus savstarpēji saista [[Elektriskā lādiņa nezūdamības likums|lādiņa nezūdamības likums]] (5.).

=== Maksvela vienādojumu fizikālais saturs ===
* Pirmajā un trešajā vienādojumā <math>\vec{E} \ </math> un <math>\vec{B} \ </math> cirkulāciju aprēķina pa jebkuru patvaļīgu slēgtu [[kontūrs|kontūru]] <math>l \ </math>, bet [[Magnētiskās indukcijas plūsma|magnētiskās indukcijas plūsmu]] <math>\Phi \ </math>, [[Gausa teorēma|elektriskās intensitātes plūsmu]] <math>N \ </math> un [[elektriskā strāva|lādiņnesēju plūsmu]] <math>I \ </math> aprēķina pa atvērtu [[virsma|virsmu]] <math>S \ </math>.
* Otrajā un ceturtajā vienādojumā ir aprēķināts [[Magnētiskais lauks|magnētiskās indukcijas]] <math>\vec{B} \ </math> un [[elektriskais lauks|elektriskās intensitātes]] <math>\vec{E} \ </math> plūsmas caur jebkuru slēgtu viensakarīgu virsmu <math>S \ </math>, bet <math>q \ </math> ir pilnais [[elektriskais lādiņš]] virsmas <math>S \ </math> ierobežotajā [[tilpums|tilpumā]]. (Šī virsma <math>S \ </math> tātad nav un nevar būt tā pati, kas pirmajā un trešajā vienādojumā!)

=== Maksvela vienādojumu empīriskie fakti vai likumsakarības ===
Katrs no postulētajiem integrālajiem vienādojumiem atbilst konkrētam empīriskajam faktam vai likumsakarībai, kurus apstiprina [[eksperiments|eksperimenti]].
* Pirmais vienādojums izsaka [[Elektromagnētiskās indukcijas likums|elektromagnētiskās indukcijas likumu]].
* Otrais vienādojums izsaka apgalvojumu, ka [[magnētiskais lauks|magnētiskās indukcijas]] līnijas vienmēr ir noslēgtas.
* Trešais vienādojums saista [[magnētiskais lauks|magnētisko lauku]] ar tā iespējamiem [[elektromagnētiskā lauka avoti|avotiem]] - [[elektriskā strāva|strāvu]] <math>I \ </math> un [[nobīdes strāva|nobīdes strāvu]] <math>I_D \ </math>.
* Ceturtais vienādojums ir [[Gausa teorēma]] [[elektriskais lauks|elektriskajam laukam]].

== Maksvela diferenciālvienādojumi ==
No [[integrālie Maksvela vienādojumi|Maksvela integrālajiem vienādojumiem]], kuri ir spēkā galīgam [[tilpums|tilpumam]] <math> V \ </math>, [[virsma]]i <math> S \ </math> un [[kontūrs|kontūram]] <math> l \ </math> var iegūt atbilstošus [[diferenciālvienādojums|diferenciālvienādojumus]]. Tie saista [[vektors|vektorus]] <math> \vec{E} \ </math> un <math> \vec{B} \ </math> katrā [[telpa]]s punktā, jebkurā [[laiks|laika]] momentā un tāpēc ir noteiktā nozīmē ''vispārīgāki'' nekā integrālie vienādojumi.

Lai iegūtu Maksvela diferenciālvienādojumus
<math>\begin{cases} \ rot \vec{E} = - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \ div \vec{B} = 0 \end{cases} \ </math>
<math>\begin{cases} \ rot \vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \\ \ div \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \end{cases} \ </math>
, integrālie vienādojumi jāpārveido tā, lai to abās pusēs būtu [[integrālis|integrāļi]] pa vienu un to pašu apgabalu - virsmu vai tilpumu. Šādi pārveidotām zemintegrāļa izteiksmēm integrālo vienādojumu kreisajā un labajā pusē jābūt vienādām, jo integrēšanas apgabals ir patvaļīgs. Zemintegrāļu izteiksmju vienādības ir meklētie diferenciālvienādojumi. Integrālo vienādojumu pārveidošanai izmanto [[Stoksa teorēma|Stoksa]] un [[Ostrogradska - Gausa teorēma]]s.

=== Pirmais Maksvela diferenciālvienādojums ===
Pirmo Maksvela diferenciālvienādojumu iegūst no [[integrālie Maksvela vienādojumi|integrālā vienādojuma]] <math>\oint_l \vec{E} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} = - \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d} t} \ </math>. Šeit [[Magnētiskās indukcijas plūsma|plūsma]] <math>\Phi = \int_S \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} \ </math> ir aprēķināta virsmai <math> S \ </math>, kuru aptver noslēgts kontūrs <math> l \ </math>. Vienādojuma kreiso pusi pārveido , izmantojot [[Stoksa teorēma|Stoksa teorēmu]]: <math> \oint_l \vec{E} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} = \int_S rot \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} \ </math> Labajā pusē mainam [[atvasināšana]]s un [[integrēšana]]s secību, <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_S \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} = \int_S \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \mathrm{d} \vec{S} \ </math>. Šo pārveidojumu rezultātā iegūstam, ka <math> \int_S rot \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} = - \int_S \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \mathrm{d} \vec{S} \ </math>

Pielīdzinot zemintegrāļa izteiksmes vienu otrai, iegūst '''pirmo Maksvela diferenciālvienādojumu'''
<math> rot \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \ </math>

=== Otrais Maksvela diferenciālvienādojums ===
Otrā Maksvela diferenciālvienādojuma uzrakstīšanai izmanto [[Ostrogradska - Gausa teorēma|Ostrogradska - Gausa teorēmu]] [[integrālie Maksvela vienādojumi|integrālam vienādojumam]] <math>\oint_S \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} =  0 \ </math>, proti, nosacījumam, ka [[magnētiskā plūsma]] caur jebkuru noslēgtu virsmu <math> S \ </math> ir vienāda ar [[nulle|nulli]]. Patvaļīgam tilpumam <math> V \ </math> <math> \int_V div \vec{B} \mathrm{d} V = 0 \ </math>. No tā izriet '''otrais Maksvela diferenciālvienādojums'''

<math> div \vec{B} = 0 \ </math>

=== Trešais Maksvela diferenciālvienādojums ===
Trešo Maksvela diferenciālvienādojumu iegūst analogi pirmā diferenciālvienādojuma pārveidošanai <math>\oint_l \vec{B} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} = \mu_0 (I + I_D) \ </math>, kur [[elektriskā strāva|strāva]] <math> I = \int_S \vec{j} \mathrm{d} \vec{S} \ </math> un vektora <math> \vec{E} \ </math> [[Gausa teorēma|plūsma]] <math> N = \int_S \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} \ </math> ir saķēdēta ar kontūru <math> l \ </math>, kas savukārt ietver virsmu <math> S \ </math>. Izmantojot [[Stoksa teorēma|Stoksa teorēmu]] [[magnētiskās indukcijas cirkulācija]]i, <math> \oint_l \vec{B} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} = \int_S rot \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} </math>. Lietojot [[elektriskā strāva|strāvas tilpuma blīvuma]] formulu <math> \vec{j} = \rho \vec{v} \ </math>, strāvu var uzskatīt par lādiņnesēju plūsmu caur virsmu <math> S \ </math>, kuras robežkontūrs <math> l \ </math>. Mainot atvasināšanas un integrēšanas secību vienādojuma labās puses otrajā saskaitāmajā, var atrast, ka <math> \int_S rot \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} = \mu_0 \int_S \vec{j} \mathrm{d} \vec{S} + \epsilon_0 \mu_0 \int_S \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \mathrm{d} \vec{S} \ </math> un tātad iegūstam '''trešo Maksvela diferenciālvienādojumu'''

<math> rot \vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \ </math>

=== Ceturtais Maksvela diferenciālvienādojums ===
Ceturto Maksvela diferenciālvienādojumu uzraksta, izmantojot [[Gausa teorēma|Gausa teorēmu]] <math>\oint_S \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} = \frac{q}{\epsilon_0} \ </math>. Noslēgtas [[virsma]]s <math> S \ </math> ierobežotā [[tilpums|tilpumā]] <math> V \ </math> [[lādiņš]] <math> q = \int_V \rho \mathrm{d} V \ </math> (<math> \rho \ </math> ir tilpuma [[lādiņa blīvums]]). Pārveidojot [[elektriskā intensitāte|elektriskās intensitātes]] plūsmu pēc [[Ostrogradska-Gausa teorēma]]s, <math> \oint_S \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} = \int_V div \vec{E} \mathrm{d} V \ </math>, varam uzrakstīt, ka <math> \int_V div \vec{E} \mathrm{d} V = \int_V \frac{\rho \mathrm{d} V}{\epsilon_0} \ </math>.

Tātad, rezultātā iegūstam pēdējo, '''ceturto Maksvela diferenciālvienādojumu''': <math> div \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}\ </math>

=== Maksvela diferenciālvienādojumu interpretācija vektorlauka teorijas jēdzienos ===
* Pirmais [[vienādojums]] elektriskā lauka intensitātes [[rotors|rotoram]] ir [[elektromagnētiskās indukcijas likums]] diferenciālā formā: [[laiks|laikā]] mainīgs [[magnētiskais lauks]] <math> \vec{B} \ </math> inducē elektrisko [[virpuļlauks|virpuļlauku]] <math> \vec{E} \ </math>. Ja magnētiskā lauka nav vai arī ja tas ir [[stacionārs]], tad <math> rot \vec{E} = 0 \ </math> un [[elektriskais lauks]] ir [[potenciāls lauks]]. Potenciālu elektrisko lauku rada nekustīgi [[elektriskais lādiņš|elektriskie lādiņi]]. Ja tie izvietoti tilpumā tā, ka to [[blīvums]] ir <math> \rho \ </math>, elektriskā lauka intensitāti nosaka ceturtais Maksvela vienādojums, <math> div \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}\ </math>. Saskaņā ar šo vienādojumu intensitātes līnijas izplūst no [[telpa]]s punktiem, kuros lādiņa blīvums ir pozitīvs (<math> \rho > 0 \ </math>), bet ieplūst punktos, kuros tas ir negatīvs (<math> \rho < 0 \ </math>).
* Otrais Maksvela vienādojums, <math> div \vec{B} = 0 \ </math>, ir magnētiskā lauka [[solenoidalitātes nosacījums]]; <math> \vec{B} \ </math> līnijas ''vienmēr'' ir noslēgtas: tām nav izteču un noteču.
* Trešais Maksvela vienādojums saista magnētisko lauku ar tā [[elektromagnētiskā lauka avoti|avotiem]]: 1) [[elektriskā strāva|strāvu]], kuras blīvums ir <math> \vec{j} \ </math>, un 2) laikā mainīga elektriskā lauka [[atvasinājums|atvasinājumu]] <math> \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \ </math>.
* Ceturtā Maksvela vienādojumu interpretāciju skatīt pie pirmā Maksvela vienādojuma interpretācijas.

=== Maksvela vienādojumi koordinātās ===
Maksvela vienādojumus var uzrakstīt arī koordinātās. Piemēram, [[Dekarta koordinātu sistēma|Dekarta koordinātās]] iegūstam astoņus [[parciālais diferenciālvienādojums|parciālos diferenciālvienādojumus]] trim [[elektriskā intensitāte|elektriskās intensitātes]] koordinātām <math> E_x \ </math>, <math> E_y \ </math>, <math> E_z \ </math> un trim [[magnētiskā indukcija|magnētiskās indukcijas]] koordinātām <math> B_x \ </math>, <math> B_y \ </math>, <math> B_z \ </math>:

<math>\begin{cases} \ \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z} = - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial B_x}{\partial t} \\ \ \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} = - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial B_y}{\partial t} \\ \ \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} = - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial B_z}{\partial t} \end{cases} \ </math>

<math>\frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} = 0 \ </math>

<math>\begin{cases} \ \frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z} = \mu_0 j_x + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial E_x}{\partial t} \\ \ \frac{\partial B_x}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial x} = \mu_0 j_y + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial E_y}{\partial t} \\ \ \frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y} = \mu_0 j_z + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial E_z}{\partial t} \end{cases} \ </math>

<math>\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \ </math>

=== Maksvela vienādojumi nav jebkuru elektromagnētisko procesu vienādojumi ===
Maksvela vienādojumi ir elektromagnētiskā lauka dinamikas vienādojumi. Tomēr tie nav ''jebkuru'' elektromagnētisko vai elektrodinamisko procesu vienādojumi, un, piemēram, no tiem neizriet [[elektromagnētiskā lauka avoti|lauka avotu]] - [[lādiņš|lādiņu]] (vai, precīzāk sakot, lādiņnesēju) [[kustība]]s likumi elektriskajā un magnētiskajā laukā. Tie jāformulē īpaši, iepriekš noskaidrojot, kādi ir [[spēks|spēki]] un [[moments|momenti]], kuri uz lādiņnesējiem un [[elektriskā strāva|strāvas]] vadītājiem darbojas elektriskajā un magnētiskajā laukā.

== Papildu literatūra ==
* {{citation | title = Elektrība | first = Jānis | last = Platacis | publisher = Zvaigzne | year = 1974}}.
* {{citation | title = A student's guide to Maxwell's equations | first = Daniel A. | last = Fleisch | publisher = Cambridge University Press | year = 2008 | isbn = 978-0-52-170147-1}}.
* {{citation | title = Maxwell's Equations | first = Paul G. | last = Huray | publisher = John Wiley & Sons | year = 2009 | isbn = 978-0-47-054276-7}}.

== Ārējās saites ==
* Eric W. Weisstein, [http://scienceworld.wolfram.com/physics/MaxwellEquations.html Maxwell Equations], scienceworld.wolfram.com {{en icon}}
* [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/maxeq.html Maxwell's Equations], Hyperphysics {{en icon}}

{{Relativitāte}}

{{autoritatīvā vadība}}

[[Kategorija:Speciālā relativitātes teorija]]
[[Kategorija:Elektrodinamika]]
[[Kategorija:Elektromagnētisms]]
[[Kategorija:Fizikas pamatvienādojumi]]