Maksvela vienādojumi

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Fizikā Maksvela vienādojumi ir četru diferenciālvienādojumu sistēma, kas apraksta elektromagnētisko lauku vakuumā. Tie raksturo elektriskā un magnētiskā lauka savstarpējo mijiedarbību, kā arī to saistību ar elektrisko lādiņu un strāvas blīvumu. Šos vienādojumus 1861. gadā atklāja skotu fiziķis un matemātiķis Džeimss Maksvels.

Integrālie Maksvela vienādojumi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Integrālie Maksvela vienādojumi ir elektromagnētiskā lauka teorijas postulāti.

  1. un
  2. un

Šiem integrālajiem vienādojumiem mēdz pievienot vēl arī elektriskā lādiņa nezūdamības likumu

Vienādojumu sistēmas pāri[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Vienādojumu sistēma sastāv no diviem vienādojumu pāriem.

  • Pirmais vienādojumu pāris (1. un 2.) ir homogēni vienādojumi vektoriem un . Šie vienādojumi ir spēkā visiem elektromagnētiskajiem laukiem neatkarīgi no tā, kādi ir to avoti (t.i., lādiņi un strāvas)
  • Otrs vienādojumu pāris (3. un 4.) ir nehomogēni vienādojumi: tie satur lauka avotus un , kurus savstarpēji saista lādiņa nezūdamības likums (5.).

Maksvela vienādojumu fizikālais saturs[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Pirmajā un trešajā vienādojumā un cirkulāciju aprēķina pa jebkuru patvaļīgu slēgtu kontūru , bet magnētiskās indukcijas plūsmu , elektriskās intensitātes plūsmu un lādiņnesēju plūsmu aprēķina pa atvērtu virsmu .
  • Otrajā un ceturtajā vienādojumā ir aprēķināts magnētiskās indukcijas un elektriskās intensitātes plūsmas caur jebkuru slēgtu viensakarīgu virsmu , bet ir pilnais elektriskais lādiņš virsmas ierobežotajā tilpumā. (Šī virsma tātad nav un nevar būt tā pati, kas pirmajā un trešajā vienādojumā!)

Maksvela vienādojumu empīriskie fakti vai likumsakarības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Katrs no postulētajiem integrālajiem vienādojumiem atbilst konkrētam empīriskajam faktam vai likumsakarībai, kurus apstiprina eksperimenti.

Maksvela diferenciālvienādojumi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

No Maksvela integrālajiem vienādojumiem, kuri ir spēkā galīgam tilpumam , virsmai un kontūram var iegūt atbilstošus diferenciālvienādojumus. Tie saista vektorus un katrā telpas punktā, jebkurā laika momentā un tāpēc ir noteiktā nozīmē vispārīgāki nekā integrālie vienādojumi.

Lai iegūtu Maksvela diferenciālvienādojumus , integrālie vienādojumi jāpārveido tā, lai to abās pusēs būtu integrāļi pa vienu un to pašu apgabalu - virsmu vai tilpumu. Šādi pārveidotām zemintegrāļa izteiksmēm integrālo vienādojumu kreisajā un labajā pusē jābūt vienādām, jo integrēšanas apgabals ir patvaļīgs. Zemintegrāļu izteiksmju vienādības ir meklētie diferenciālvienādojumi. Integrālo vienādojumu pārveidošanai izmanto Stoksa un Ostrogradska - Gausa teorēmas.

Pirmais Maksvela diferenciālvienādojums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pirmo Maksvela diferenciālvienādojumu iegūst no integrālā vienādojuma . Šeit plūsma ir aprēķināta virsmai , kuru aptver noslēgts kontūrs . Vienādojuma kreiso pusi pārveido , izmantojot Stoksa teorēmu: Labajā pusē mainam atvasināšanas un integrēšanas secību, . Šo pārveidojumu rezultātā iegūstam, ka

Pielīdzinot zemintegrāļa izteiksmes vienu otrai, iegūst pirmo Maksvela diferenciālvienādojumu

Otrais Maksvela diferenciālvienādojums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Otrā Maksvela diferenciālvienādojuma uzrakstīšanai izmanto Ostrogradska - Gausa teorēmu integrālam vienādojumam , proti, nosacījumam, ka magnētiskā plūsma caur jebkuru noslēgtu virsmu ir vienāda ar nulli. Patvaļīgam tilpumam . No tā izriet otrais Maksvela diferenciālvienādojums

Trešais Maksvela diferenciālvienādojums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Trešo Maksvela diferenciālvienādojumu iegūst analogi pirmā diferenciālvienādojuma pārveidošanai , kur strāva un vektora plūsma ir saķēdēta ar kontūru , kas savukārt ietver virsmu . Izmantojot Stoksa teorēmu magnētiskās indukcijas cirkulācijai, . Lietojot strāvas tilpuma blīvuma formulu , strāvu var uzskatīt par lādiņnesēju plūsmu caur virsmu , kuras robežkontūrs . Mainot atvasināšanas un integrēšanas secību vienādojuma labās puses otrajā saskaitāmajā, var atrast, ka un tātad iegūstam trešo Maksvela diferenciālvienādojumu

Ceturtais Maksvela diferenciālvienādojums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ceturto Maksvela diferenciālvienādojumu uzraksta, izmantojot Gausa teorēmu . Noslēgtas virsmas ierobežotā tilpumā lādiņš ( ir tilpuma lādiņa blīvums). Pārveidojot elektriskās intensitātes plūsmu pēc Ostrogradska-Gausa teorēmas, , varam uzrakstīt, ka .

Tātad, rezultātā iegūstam pēdējo, ceturto Maksvela diferenciālvienādojumu:

Maksvela diferenciālvienādojumu interpretācija vektorlauka teorijas jēdzienos[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Pirmais vienādojums elektriskā lauka intensitātes rotoram ir elektromagnētiskās indukcijas likums diferenciālā formā: laikā mainīgs magnētiskais lauks inducē elektrisko virpuļlauku . Ja magnētiskā lauka nav vai arī ja tas ir stacionārs, tad un elektriskais lauks ir potenciāls lauks. Potenciālu elektrisko lauku rada nekustīgi elektriskie lādiņi. Ja tie izvietoti tilpumā tā, ka to blīvums ir , elektriskā lauka intensitāti nosaka ceturtais Maksvela vienādojums, . Saskaņā ar šo vienādojumu intensitātes līnijas izplūst no telpas punktiem, kuros lādiņa blīvums ir pozitīvs (), bet ieplūst punktos, kuros tas ir negatīvs ().
  • Otrais Maksvela vienādojums, , ir magnētiskā lauka solenoidalitātes nosacījums; līnijas vienmēr ir noslēgtas: tām nav izteču un noteču.
  • Trešais Maksvela vienādojums saista magnētisko lauku ar tā avotiem: 1) strāvu, kuras blīvums ir , un 2) laikā mainīga elektriskā lauka atvasinājumu .
  • Ceturtā Maksvela vienādojumu interpretāciju skatīt pie pirmā Maksvela vienādojuma interpretācijas.

Maksvela vienādojumi koordinātās[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Maksvela vienādojumus var uzrakstīt arī koordinātās. Piemēram, Dekarta koordinātās iegūstam astoņus parciālos diferenciālvienādojumus trim elektriskās intensitātes koordinātām , , un trim magnētiskās indukcijas koordinātām , , :

Maksvela vienādojumi nav jebkuru elektromagnētisko procesu vienādojumi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Maksvela vienādojumi ir elektromagnētiskā lauka dinamikas vienādojumi. Tomēr tie nav jebkuru elektromagnētisko vai elektrodinamisko procesu vienādojumi, un, piemēram, no tiem neizriet lauka avotu - lādiņu (vai, precīzāk sakot, lādiņnesēju) kustības likumi elektriskajā un magnētiskajā laukā. Tie jāformulē īpaši, iepriekš noskaidrojot, kādi ir spēki un momenti, kuri uz lādiņnesējiem un strāvas vadītājiem darbojas elektriskajā un magnētiskajā laukā.

Papildu literatūra[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Platacis, Jānis (1974), Elektrība, Zvaigzne.
  • Fleisch, Daniel A. (2008), A student's guide to Maxwell's equations, Cambridge University Press, ISBN 978-0-52-170147-1.
  • Huray, Paul G. (2009), Maxwell's Equations, John Wiley & Sons, ISBN 978-0-47-054276-7.

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]