Maksvela vienādojumi

Vikipēdijas raksts
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Fizikā Maksvela vienādojumi ir četru diferenciālvienādojumu sistēma, kas apraksta elektromagnētisko lauku vakuumā. Tie raksturo elektriskā un magnētiskā lauka savstarpējo mijiedarbību, kā arī to saistību ar elektrisko lādiņu un strāvas blīvumu. Šos vienādojumus 1861. gadā atklāja skotu fiziķis un matemātiķis Džeimss Maksvels.

Integrālie Maksvela vienādojumi[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Integrālie Maksvela vienādojumi ir elektromagnētiskā lauka teorijas postulāti.

1. \oint_l \vec{E} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} = - \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d} t} \ un \Phi = \int_S \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} \

2. \oint_S \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} =  0 \

3. \oint_l \vec{B} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} = \mu_0 (I + I_D) \ un N = \int_S \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} \

4. \oint_S \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} = \frac{q}{\epsilon_0}

Šiem integrālajiem vienādojumiem mēdz pievienot vēl arī elektriskā lādiņa nezūdamības likumu

5. I = - \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} \

Vienādojumu sistēmas pāri[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Vienādojumu sistēma sastāv no diviem vienādojumu pāriem.

Maksvela vienādojumu fizikālais saturs[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Maksvela vienādojumu empīriskie fakti vai likumsakarības[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Katrs no postulētajiem integrālajiem vienādojumiem atbilst konkrētam empīriskajam faktam vai likumsakarībai, kurus apstiprina eksperimenti.

Maksvela diferenciālvienādojumi[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

No Maksvela integrālajiem vienādojumiem, kuri ir spēkā galīgam tilpumam  V \ , virsmai  S \ un kontūram  l \ var iegūt atbilstošus diferenciālvienādojumus. Tie saista vektorus  \vec{E} \ un  \vec{B} \ katrā telpas punktā, jebkurā laika momentā un tāpēc ir noteiktā nozīmē vispārīgāki nekā integrālie vienādojumi.

Lai iegūtu Maksvela diferenciālvienādojumus

\begin{cases} \ rot \vec{E} = - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \ div \vec{B} = 0 \end{cases} \

\begin{cases} \ rot \vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \\ \ div \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \end{cases} \

, integrālie vienādojumi jāpārveido tā, lai to abās pusēs būtu integrāļi pa vienu un to pašu apgabalu - virsmu vai tilpumu. Šādi pārveidotām zemintegrāļa izteiksmēm integrālo vienādojumu kreisajā un labajā pusē jābūt vienādām, jo integrēšanas apgabals ir patvaļīgs. Zemintegrāļu izteiksmju vienādības ir meklētie diferenciālvienādojumi. Integrālo vienādojumu pārveidošanai izmanto Stoksa un Ostrogradska - Gausa teorēmas.

Pirmais Maksvela diferenciālvienādojums[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pirmo Maksvela diferenciālvienādojumu iegūst no integrālā vienādojuma \oint_l \vec{E} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} = - \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d} t} \ . Šeit plūsma \Phi = \int_S \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} \ ir aprēķināta virsmai  S \ , kuru aptver noslēgts kontūrs  l \ . Vienādojuma kreiso pusi pārveido , izmantojot Stoksa teorēmu:  \oint_l \vec{E} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} = \int_S rot \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} \ Labajā pusē mainam atvasināšanas un integrēšanas secību, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_S \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} = \int_S \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \mathrm{d} \vec{S} \ . Šo pārveidojumu rezultātā iegūstam, ka  \int_S rot \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} = - \int_S \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \mathrm{d} \vec{S} \

Pielīdzinot zemintegrāļa izteiksmes vienu otrai, iegūst pirmo Maksvela diferenciālvienādojumu

 rot \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \

Otrais Maksvela diferenciālvienādojums[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Otrā Maksvela diferenciālvienādojuma uzrakstīšanai izmanto Ostrogradska - Gausa teorēmu integrālam vienādojumam \oint_S \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} =  0 \ , proti, nosacījumam, ka magnētiskā plūsma caur jebkuru noslēgtu virsmu  S \ ir vienāda ar nulli. Patvaļīgam tilpumam  V \  \int_V div \vec{B} \mathrm{d} V = 0 \ . No tā izriet otrais Maksvela diferenciālvienādojums

 div \vec{B} = 0 \

Trešais Maksvela diferenciālvienādojums[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Trešo Maksvela diferenciālvienādojumu iegūst analogi pirmā diferenciālvienādojuma pārveidošanai \oint_l \vec{B} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} = \mu_0 (I + I_D) \ , kur strāva  I = \int_S \vec{j} \mathrm{d} \vec{S} \ un vektora  \vec{E} \ plūsma  N = \int_S \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} \ ir saķēdēta ar kontūru  l \ , kas savukārt ietver virsmu  S \ . Izmantojot Stoksa teorēmu magnētiskās indukcijas cirkulācijai,  \oint_l \vec{B} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} = \int_S rot \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} . Lietojot strāvas tilpuma blīvuma formulu  \vec{j} = \rho \vec{v} \ , strāvu var uzskatīt par lādiņnesēju plūsmu caur virsmu  S \ , kuras robežkontūrs  l \ . Mainot atvasināšanas un integrēšanas secību vienādojuma labās puses otrajā saskaitāmajā, var atrast, ka  \int_S rot \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} = \mu_0 \int_S \vec{j} \mathrm{d} \vec{S} + \epsilon_0 \mu_0 \int_S \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \mathrm{d} \vec{S} \ un tātad iegūstam trešo Maksvela diferenciālvienādojumu

 rot \vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \

Ceturtais Maksvela diferenciālvienādojums[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ceturto Maksvela diferenciālvienādojumu uzraksta, izmantojot Gausa teorēmu \oint_S \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} = \frac{q}{\epsilon_0} \ . Noslēgtas virsmas  S \ ierobežotā tilpumā  V \ lādiņš  q = \int_V \rho \mathrm{d} V \ ( \rho \ ir tilpuma lādiņa blīvums). Pārveidojot elektriskās intensitātes plūsmu pēc Ostrogradska-Gausa teorēmas,  \oint_S \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} = \int_V div \vec{E} \mathrm{d} V \ , varam uzrakstīt, ka  \int_V div \vec{E} \mathrm{d} V = \int_V \frac{\rho \mathrm{d} V}{\epsilon_0} \ .

Tātad, rezultātā iegūstam pēdējo, ceturto Maksvela diferenciālvienādojumu:  div \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}\

Maksvela diferenciālvienādojumu interpretācija vektorlauka teorijas jēdzienos[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Maksvela vienādojumi koordinātās[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Maksvela vienādojumus var uzrakstīt arī koordinātās. Piemēram, Dekarta koordinātās iegūstam astoņus parciālos diferenciālvienādojumus trim elektriskās intensitātes koordinātām  E_x \ ,  E_y \ ,  E_z \ un trim magnētiskās indukcijas koordinātām  B_x \ ,  B_y \ ,  B_z \ :

\begin{cases} \ \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z} = - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial B_x}{\partial t} \\ \ \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} = - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial B_y}{\partial t} \\ \ \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} = - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial B_z}{\partial t} \end{cases} \

\frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} = 0 \

\begin{cases} \ \frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z} = \mu_0 j_x + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial E_x}{\partial t} \\ \ \frac{\partial B_x}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial x} = \mu_0 j_y + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial E_y}{\partial t} \\ \ \frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y} = \mu_0 j_z + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial E_z}{\partial t} \end{cases} \

\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \

Maksvela vienādojumi nav jebkuru elektromagnētisko procesu vienādojumi[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Maksvela vienādojumi ir elektromagnētiskā lauka dinamikas vienādojumi. Tomēr tie nav jebkuru elektromagnētisko vai elektrodinamisko procesu vienādojumi, un, piemēram, no tiem neizriet lauka avotu - lādiņu (vai, precīzāk sakot, lādiņnesēju) kustības likumi elektriskajā un magnētiskajā laukā. Tie jāformulē īpaši, iepriekš noskaidrojot, kādi ir spēki un momenti, kuri uz lādiņnesējiem un strāvas vadītājiem darbojas elektriskajā un magnētiskajā laukā.


Papildu literatūra[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Platacis, Jānis (1974), Elektrība, Zvaigzne.
  • Fleisch, Daniel A. (2008), A student's guide to Maxwell's equations, Cambridge University Press, ISBN 978-0-52-170147-1.
  • Huray, Paul G. (2009), Maxwell's Equations, John Wiley & Sons, ISBN 978-0-47-054276-7.

Ārējās saites[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]