Metamodelēšana

Metamodelēšana ir matemātiska aproksimācija, lai atspoguļotu sistēmas raksturīgo uzvedību un nevis pētītu tās fizikālos aspektus. Var teikt, ka metamodelis ir modeļa modelis. Zinātniskajā literatūrā tiek lietoti arī citi termina "metamodelis" sinonīmi, piemēram, "surogātmodelis" vai "aproksimācijas modelis". Metamodeļa lietošana ļauj efektīvi izprast un novērtēt modeļa ieejas (faktori) un izejas (atbildes) parametru savstarpējo atkarību, izmantojot pilna apjoma fizikālos vai skaitliskos eksperimentus tikai noteiktos pētāmā apgabala punktos. Faktorus, kuri tiek izmantoti fizikālajos vai skaitliskajos eksperimentos, atrod, lietojot specifiskas metodes, ko sauc par eksperimentu plānošanu. Pēc eksperimenta plāna izvēles un nepieciešamo simulāciju vai fizikālo eksperimentu veikšanas seko piemērota aproksimācijas (t.i. matemātiskā) modeļa izvēle. Metamodelēšanas zinātniskais mērķis ir tāda aproksimācijas modeļa izveide, kas ir pēc iespējas precīzāks, un kura izstrādei ir nepieciešams pēc iespējas mazāk pilna apjoma eksperimentu. Metamodeļu izstrāde ir lietderīga gadījumos, kad eksperimentu veikšana ir dārga, laikietilpīga vai nav iespējama.

Mūsdienu inženierzinātnēs aktuāla tēma ir inversā analīze. Inversās problēmas tiek definētas kā tādas, kurās izejas parametru vērtības ir zināmas, bet ieejas vērtības vēl ir jānoskaidro. Inversajā metamodelēšanā aproksimācijas metodes tiek lietotas, lai izveidotu apgrieztās sakarības modeli. Tādējādi tiek iegūta inversā sakarība starp sekām un cēloni, ko var izmantot sistēmu monitoringam.

Mērķis

Vispārīgā gadījumā mērķis ir iegūt atbildes funkciju $Y$ , kas ir atkarīga no faktoru vērtībām $X_{i}$ :

$Y=f(X_{1},X_{2},...,X_{n}),$

kur $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ koordinātas veido faktoru telpu.^[1] Atbildes funkcijas $Y$ ģeometrisko attēlojumu faktoru telpā sauc par atbildes virsmu.

Metamodelēšana ietver trīs galvenos posmus:

iztvēruma punktu atlase, lietojot eksperimentu plānu,
metamodeļa izveide un modeļa parametru optimizēšana,
modeļa precizitātes novērtējums.

Praktiskos projektēšanas uzdevumos minētos posmus ir lietderīgi iteratīvi atkārtot, ja iegūtais metamodelis neatbilst izvirzītajām kvalitātes prasībām. Metamodeļa precizitāte ir atkarīga no iztvēruma punktu skaita un atrašanās vietas pētāmajā telpas apgabalā. Lai noteiktu aproksimētā modeļa adekvātumu, izmanto šādus kvalitātes rādītājus: relatīvā leave-one-out krosvalidācijas kļūdu un koriģēto determinācijas koeficientu R². Pīrsona hī kvadrāta ( $\chi ^{2}$ ) kritēriju bieži izmanto, lai novērtētu modeļa atbilstību. Lai noteiktu vai izlašu disperisijas ir statistiski nozīmīgi atšķirīgas, izmanto dispersijas analīzi (ANOVA).

Metamodeļu veidi

Sekmīga metamodeļa izvēle ļauj ievērojami ietaupīt skaitļošanas laiku un resursus. Tomēr piemērota aproksimācijas modeļa izvēle ir sarežģīts uzdevums. Zinātniskajā literatūrā ir pieejami vairāki pētījumi, kuros ir salīdzinātas dažādas metamodelēšanas pieejas.^[2]^[3]^[4]

Izšķir parametriskās un neparametriskās regresijas vai interpolācijas tipa aproksimācijas. Plaši lietotas metamodelēšanas pieejas ir šādas: polinomiālā regresija (atbildes virsmu metode),^[6] kriginga metode,^[7] radiālās bāzes funkcijas,^[8] mākslīgie neironu tīkli un Baija tīkli.^[9] Polinomiālā regresija ir noderīga un efektīva gadījumos, kad sistēmas parametru skaits ir neliels un tās uzvedība nav izteikti nelineāra. Kā jau liecina nosaukums aproksimēšanai izmanto dažādu kārtu polinomus. Kriginga metode jeb Gausa procesu regresija ir augstas precizitātes metode, kas aplūko atbildes funkciju kā stohastiska procesa realizāciju. Tā ir parametru interpolācijas metode, kas ir pilnībā aprakstāma ar vidējām un pozitīvi definētām kovariācijas funkcijām. Radiālo bāzes funkciju metode tika radīta nevienmērīgi izkliedētu daudzdimensionālo datu interpolācijai. Metode lieto radiāli simetrisku funkciju, bāzētu uz Eiklīda attālumu vai citu līdzīgu metriku daudzdimensiju telpā.^[1]

Eksperimentu plānu veidi

Sākumā eksperimentu plāni attiecās tikai uz fiziskiem eksperimentiem. Tādēļ šādus plānus mēdz saukt par klasiskajiem eksperimentu plāniem. Pirmos plānus izmantoja, lai veiktu eksperimentus ar mērķi izprast lauksaimniecības kultūru sistēmu varbūtējo uzvedību. Ņemot vērā, ka fiziskos eksperimentos aplūkotais process ir stohastisks un tas satur gadījuma kļūdas, eksperimentu plānam ir jāsatur atkārtoti iztvēruma punkti.

Izmantojot skaitliskās metodes un skaitļošanas iekārtas, ir iespējams izstrādāt eksperimentus, izmantojot datorsimulācijas. Šādus plānus sauc par modernajiem eksperimentu plāniem. Uz simulācijām balstīti eksperimenti ir noteikti, un to atkārtošana nav nepieciešama, tādēļ nav nepieciešams plāns ar atkārtotiem punktiem. Labu iztvērumu datu punktu (ko sauc arī par novērojumiem vai mācību punktiem, vai paraugiem) atlase kļuva par pamatuzdevumu datorsimulācijās ar galveno mērķi palielināt informācijas apjomu, kas iegūts no ierobežota paraugu skaita.^[10]

Tipiski klasiskie eksperimentu plāni ir faktoriālie plāni. Faktoriālajos plānos tiek pieņemts, ka plāns ir pilnībā randomizēts. Randomizācija ir nozīmīga jebkurā klasiskajā eksperimentu plānā, jo eksperimentētājs nevar vienmēr būt drošs, ka eksperimentā ir ņemtas vērā visas galvenās ietekmes uz objektīvo funkciju.^[10] Faktoriālais dizains var būt vai nu pilns, vai daļējs. Parasti faktoriālie plāni mēdz izmantot punktus uz hiperkuba virsotnēm. Palielinoties faktoru skaitam, tie rada režģu struktūru, un paraugpunkti ir vienmērīgi sadalīti paredzētajā telpā. Daļējie faktoriālie plāni ir plaši izmantoti rūpniecībā. Centrālie kompozītu plāni bieži tiek izmantoti otrās kārtas atbildes virsmu izveidei. Turpretī datoru eksperimentu plānošanai visefektīvāk ir izmantot telpu aizpildīšanas plānus, piemēram, dažādus latīņu hiperkuba plānu (LHS) veidus, Monte Karlo metodes. Svarīga koncepcija eksperimentu plānošanā ir ortogonalitāte. Ortogonāls plāns ļauj samazināt regresijas koeficientu dispersiju. LHS metodes aprakstu pirmo reizi publicējuši Rīgas Tehniskās Universitātes zinātnieki P. Audze, V. Eglajs.^[11]

Metamodelēšanas programmatūra

KEDRO: ir kompozītmateriālu elementu daudzkriteriālās robustās optimizācijas programmatūra, kas izstrādāta RTU Mašīnu un mehānismu dinamikas ZP laboratorijā. KEDRO pielietojama eksperimentu plānošanai, metamodeļu būvēšanai un šo metamodeļu izmantošanai globālai optimizācijai, kā arī sistēmu parametru identifikācijai.^[12]
Surrogate Modeling Toolbox: ir Python pakotne, kurā ir iekļauta metamodelēšanas metožu un eksperimentu plānošanas funkcijas. Šī pakotne nodrošina tādu metamodeļu bibliotēku, kas ir vienkārši lietojami un atvieglo papildu metožu ieviešanu.
Surrogates.jl: ir Julia pakotne, kas piedāvā tādus rīkus kā radiālās bāzes metodes un kriginga metodi.

Atsauces

↑ ^1,0 ^1,1 Jānis Auziņš, Aleksandrs Januševskis. Eksperimentu Plānošana un Analīze. RTU Izdevniecība, 2007.
↑ Bhosekar, Atharv; Ierapetritou, Marianthi (January 2018). "Advances in surrogate based modeling, feasibility analysis, and optimization: A review". Computers and Chemical Engineering 4: 250-267. doi:10.1016/j.compchemeng.2017.09.017.
↑ Davis, Sarah E.; Cremaschi, Selen; Eden, Mario R. (2017). "Efficient Surrogate Model Development: Optimum Model Form Based on Input Function Characteristics". Computer Aided Chemical Engineering 40: 457-462. doi:10.1016/B978-0-444-63965-3.50078-7.
↑ Williams, Bianca; Cremaschi, Selen (2021). "Selection of Surrogate Modeling Techniques for Surface Approximation and Surrogate-Based Optimization". Chemical Engineering Research and Design 47. doi:10.1016/j.cherd.2021.03.028.
↑ ^5,0 ^5,1 Sabīne Upnere. Lieljaudas ūdensdzeses sistēmu dinamikas un drošuma izpēte. Promocijas darba kopsavilkums. RTU Izdevniecība, 2019.
↑ Box, G. E. P.; Wilson, K. B. (1951). "On the Experimental Attainment of Optimum Conditions". Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Methodological) XIII (1): 1-35. doi:10.1111/j.2517-6161.1951.tb00067.x.
↑ Sacks, Jerome; Welch, William J.; Wynn, Henry P.; Mitchell, Toby J. (1989). "Design and Analysis of Computer Experiments". Statistical Science 4 (4): 409-423.
↑ A. Forrester, A. Sobester, A. Keane. Engineering Design via Surrogate Modeling. John Wiley & Sons Ltd., University of Southampton, 2008.
↑ Cardenas, I. C. (2019). "On the use of Bayesian networks as a meta-modelling approach to analyse uncertainties in slope stability analysis". Georisk: Assessment and Management of Risk for Engineered Systems and Geohazards 13 (1): 53-65. doi:10.1080/17499518.2018.1498524.
↑ ^10,0 ^10,1 Yondo, Raul; Andres, Esther; Valero, Eusebio (2018). "A review on design of experiments and surrogate models in aircraft real-time and many-query aerodynamic analyses". Progress in Aerospace Sciences 96: 23-61. doi:10.1016/j.paerosci.2017.11.003.
↑ Audze, P.; Eglajs, V. (1977). "New approach for planning out of experiments". Problems of Dynamics and Strengths 35: 104–107.
↑ Auziņš, Jānis; Januševskis, Aleksandrs; Meļņikovs, Anatolijs; Vaicis, Ivo (2015). "Kompozītmateriālu konstrukciju formas optimizācija ar KEDRO, ievērojot nenoteiktību". Transport and Engineering. Mechanics 36: 71-76.

[:0-1] 1,0 ^1,1 Jānis Auziņš, Aleksandrs Januševskis. Eksperimentu Plānošana un Analīze. RTU Izdevniecība, 2007.

[:1-2] Bhosekar, Atharv; Ierapetritou, Marianthi (January 2018). "Advances in surrogate based modeling, feasibility analysis, and optimization: A review". Computers and Chemical Engineering 4: 250-267. doi:10.1016/j.compchemeng.2017.09.017.

[3] Davis, Sarah E.; Cremaschi, Selen; Eden, Mario R. (2017). "Efficient Surrogate Model Development: Optimum Model Form Based on Input Function Characteristics". Computer Aided Chemical Engineering 40: 457-462. doi:10.1016/B978-0-444-63965-3.50078-7.

[4] Williams, Bianca; Cremaschi, Selen (2021). "Selection of Surrogate Modeling Techniques for Surface Approximation and Surrogate-Based Optimization". Chemical Engineering Research and Design 47. doi:10.1016/j.cherd.2021.03.028.

[:3-5] 5,0 ^5,1 Sabīne Upnere. Lieljaudas ūdensdzeses sistēmu dinamikas un drošuma izpēte. Promocijas darba kopsavilkums. RTU Izdevniecība, 2019.

[6] Box, G. E. P.; Wilson, K. B. (1951). "On the Experimental Attainment of Optimum Conditions". Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Methodological) XIII (1): 1-35. doi:10.1111/j.2517-6161.1951.tb00067.x.

[7] Sacks, Jerome; Welch, William J.; Wynn, Henry P.; Mitchell, Toby J. (1989). "Design and Analysis of Computer Experiments". Statistical Science 4 (4): 409-423.

[8] A. Forrester, A. Sobester, A. Keane. Engineering Design via Surrogate Modeling. John Wiley & Sons Ltd., University of Southampton, 2008.

[9] Cardenas, I. C. (2019). "On the use of Bayesian networks as a meta-modelling approach to analyse uncertainties in slope stability analysis". Georisk: Assessment and Management of Risk for Engineered Systems and Geohazards 13 (1): 53-65. doi:10.1080/17499518.2018.1498524.

[:2-10] 10,0 ^10,1 Yondo, Raul; Andres, Esther; Valero, Eusebio (2018). "A review on design of experiments and surrogate models in aircraft real-time and many-query aerodynamic analyses". Progress in Aerospace Sciences 96: 23-61. doi:10.1016/j.paerosci.2017.11.003.

[11] Audze, P.; Eglajs, V. (1977). "New approach for planning out of experiments". Problems of Dynamics and Strengths 35: 104–107.

[12] Auziņš, Jānis; Januševskis, Aleksandrs; Meļņikovs, Anatolijs; Vaicis, Ivo (2015). "Kompozītmateriālu konstrukciju formas optimizācija ar KEDRO, ievērojot nenoteiktību". Transport and Engineering. Mechanics 36: 71-76.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]