Aritmētikas pamatteorēma

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Skaitļu teorijā aritmētikas pamatteorēma apgalvo, ka jebkurš naturāls skaitlis n > 1 ir viennozīmīgi izsakāms kā pirmskaitļu reizinājums formā n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \ldots p_m^{\alpha_m}, kur p_1 < p_2 < \ldots < p_m ir pirmskaitļi un \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m ir pozitīvi veseli skaitļi un m ≥ 1.[1][2]

Pielietojumi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja zināms, kā dotos skaitļus sadalīt pirmreizinātājos, ir ļoti viegli atrast to lielāko kopīgo dalāmo un mazāko kopīgo dalītāju. Zinot dotā skaitļa n sadalījumu pirmreizinātājos, var viegli aprēķināt arī Eilera funkciju \varphi(n), kas ir RSA šifrēšanas algoritma pamatā.

Pierādījums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pirmais šīs teorēmas pierādījums ir atrodams Eiklīda "Elementu" septītajā grāmatā (apgalvojumi 30 un 32).[3][4] Taču pirmais no mūsdienu viedokļa pieņemamais pierādījums ir atrodams Karla Frīdriha Gausa darbā "Disquisitiones Arithmeticae", kas izdots 1801. gadā. [5]

Vispārinājumi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Aritmētikas pamatteorēmu var vispārināt dažādām algebriskām struktūram. Piemēram, tā izpildās daudziem gredzeniem. Šādus gredzenus sauc par faktoriālgredzeniem (angliski — unique factorization domain).[6] Aritmētikas pamatteorēma triviāli izpildās jebkurā laukā.

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Pēteris Daugulis, Veselo skaitļu teorija, 2. lekcija, 11. lpp.
  2. Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979), An Introduction to the Theory of Numbers (fifth izd.), USA: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853171-5. Skatīt nodaļas:
    §1.3 "Statement of the Fundamental Theorem of Arithmetic", 3. lpp.,
    §2.10 "Proof of the Fundamental Theorem of Arithmetic", 21. lpp.,
    §2.11 "Another Proof of the Fundamental Theorem of Arithmetic", 21. lpp.
  3. David E. Joyce, Euclid's Elements, Book VII: Proposition 30 un Proposition 32.
  4. Richard Fitzpatrick, Euclid's Elements of Geometry, 218. un 219. lpp.
  5. (Mūsdienu izdevums) Gauss, Carl Friedrich; Clarke, A. A.; Waterhouse, William C. (1986), Disquisitiones Arithmeticae, Springer, ISBN 9780387962542, 16. Teorēma, 6. lpp.
  6. Juris Smotrovs, Dalāmības teorija veseluma apgabalos, lekciju materiāli.

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]