Aritmētikas pamatteorēma
Vikipēdijas raksts
Skaitļu teorijā aritmētikas pamatteorēma apgalvo, ka jebkurš vesels skaitlis n > 1 ir viennozīmīgi izsakāms kā pirmskaitļu reizinājums formā 
kur 
ir pirmskaitļi un 
ir pozitīvi veseli skaitļi un m ≥ 1.[1][2]
Satura rādītājs |
[izmainīt šo sadaļu] Pielietojumi
Ja zināms, kā dotos skaitļus sadalīt pirmreizinātājos, ir ļoti viegli atrast to lielāko kopīgo dalāmo un mazāko kopīgo dalītāju. Zinot dotā skaitļa n sadalījumu pirmreizinātājos, var viegli aprēķināt arī Eilera funkciju 
, kas ir RSA šifrēšanas algoritma pamatā.
[izmainīt šo sadaļu] Pierādījums
Pirmais šīs teorēmas pierādījums ir atrodams Eiklīda "Elementu" septītajā grāmatā (apgalvojumi 30 un 32).[3][4][5] Taču pirmais no mūsdienu viedokļa pieņemamais pierādījums ir atrodams Karla Frīdriha Gausa darbā "Disquisitiones Arithmeticae", kas izdots 1801. gadā. [6] [7]
[izmainīt šo sadaļu] Vispārinājumi
Aritmētikas pamatteorēmu var vispārināt dažādām algebriskām struktūram. Piemēram, tā izpildās daudziem gredzeniem. Šādus gredzenus sauc par faktoriālgredzeniem (angliski — unique factorization domain).[8] Aritmētikas pamatteorēma triviāli izpildās jebkurā laukā.
[izmainīt šo sadaļu] Atsauces
- ↑ Pēteris Daugulis, Veselo skaitļu teorija, 2. lekcija, 11. lpp.
- ↑ Hardy, G. H. & Wright, E. M. (1979), An Introduction to the Theory of Numbers (fifth ed.), USA: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853171-5. Skatīt nodaļas:
§1.3 "Statement of the Fundamental Theorem of Arithmetic", 3. lpp.,
§2.10 "Proof of the Fundamental Theorem of Arithmetic", 21. lpp.,
§2.11 "Another Proof of the Fundamental Theorem of Arithmetic", 21. lpp. - ↑ Euclid's Elements angļu Vikipēdijā.
- ↑ David E. Joyce, Euclid's Elements, Book VII: Proposition 30 un Proposition 32.
- ↑ Richard Fitzpatrick, Euclid's Elements of Geometry, 218. un 219. lpp.
- ↑ (Mūsdienu izdevums) Gauss, Carl Friedrich; Clarke, A. A. & Waterhouse, William C. (1986), Disquisitiones Arithmeticae, Springer, ISBN 9780387962542, 16. Teorēma, 6. lpp.
- ↑ Disquisitiones Arithmeticae angļu Vikipēdijā.
- ↑ Juris Smotrovs, Dalāmības teorija veseluma apgabalos, lekciju materiāli.
[izmainīt šo sadaļu] Ārējās saites
- Proof of fundamental theorem of arithmetic, PlanetMath.
- Eric W. Weisstein, Fundamental Theorem of Arithmetic, MathWorld.
- GCD and the Fundamental Theorem of Arithmetic, cut-the-knot.
- Kevin R. Coombes, The Fundamental Theorem of Arithmetic.
