Pirmskaitlis

Vikipēdijas raksts

Pirmskaitlis ir jebkurš naturāls skaitlis, kas lielāks par 1 un kam ir tikai divi dalītāji: 1 un pats skaitlis. Naturālus skaitļus, kas lielāki par 1, bet nav pirmskaitļi, sauc par saliktiem skaitļiem. Piemēram, 6 ir salikts skaitlis, jo 6 dalās ne tikai ar 1 un 6, bet arī ar 2 un 3. 7 ir pirmskaitlis, jo 7 dalās tikai ar 1 un 7.

Nav grūti pierādīt, ka pirmskaitļu ir bezgalīgi daudz. Pirmais to pierādīja Eiklīds. Vienkāršs algoritms pirmskaitļu atrašanai ir Eratostena siets.

Parasti n-to pirmskaitli apzīmē ar p_n vai P_n.

Satura rādītājs 1 Pirmskaitļu īpašības 2 Vēl daži fakti 3 Savstarpēji pirmskaitļi 4 Pirmskaitļu skaita funkcija 5 Pirmskaitļu apgriezto lielumu summa 6 Neatrisinātas problēmas 7 Pirmskaitļi, kas nepārsniedz 1000 8 Skatīt arī

[izmainīt šo sadaļu] Pirmskaitļu īpašības

• Vienīgais pāra pirmskaitlis ir 2, visi pārējie pirmskaitļi ir nepāra.
• Visi pirmskaitļi, kas lielāki par 3 ir izsakāmi formā 6k + 1 vai 6k − 1.
• Ja p ir pirmskaitlis un p > 3, tad p² − 1 dalās ar 24.
• Ja p ir pirmskaitlis un ab dalās ar p, tad vai nu a vai b dalās ar p.
• Ja p ir pirmskaitlis un a^k dalās ar p, tad a dalās ar p.

[izmainīt šo sadaļu] Vēl daži fakti

• Katrs naturāls skaitlis, kas lielāks par 1, dalās ar vismaz vienu pirmskaitli.
• Ja n ir naturāls skaitlis un n > 1, tad starp n un 2n atrodas vismaz viens pirmskaitlis (Bertrāna postulāts). Šo faktu pirmais pierādīja krievu matemātiķis P. Čebiševs.
• Starpība starp diviem blakusesošiem pirmskaitļiem var būt pēc patikas liela. Piemēram, 3 un 5 ir blakus esoši pirmskaitļi, kuru starpība ir 2. 7 un 11 ir blakusesoši pirmskaitļi, kuru starpība ir 4, utt.
• Visiem naturāliem n .
• Ja P_n ir n-tais pirmskaitlis, tad .
• Visiem naturāliem n (Rosera teorēma).

[izmainīt šo sadaļu] Savstarpēji pirmskaitļi

Divus skaitļus sauc par savstarpējiem pirmskaitļiem, ja tiem nav neviena kopīga dalītāja, izņemot skaitli 1. Piemēram, skaitļiem 10 un 13 kopīgais dalītājs ir tikai skaitlis 1, tāpēc skaitļi 10 un 13 ir savstarpēji pirmskaitļi.

[izmainīt šo sadaļu] Pirmskaitļu skaita funkcija

Bieži skaitļu teorijā, kriptogrāfijā un citur lieto funkciju, kas izsaka tādu pirmskaitļu skaitu, kas nepārsniedz kādu skaitli x. To apzīmē ar . Svarīgs skaitļu teorijas rezultāts ir šīs funkcijas asimptotiskais novērtējums .

[izmainīt šo sadaļu] Pirmskaitļu apgriezto lielumu summa

Daudzi matemātiķi ir pētījuši pirmskaitļu apgriezto lielumu summu. Ir pierādīts, ka

.

[izmainīt šo sadaļu] Neatrisinātas problēmas

Ar pirmskaitļiem ir saistītas daudzas neatrisinātas matemātikas problēmas. Piemēri:

• Dvīņu pirmskaitļu problēma: jānoskaidro, vai eksistē bezgalīgi daudz tādu pirmskaitļu, kuru starpība ir 2.
• Mersena pirmskaitļu problēma: jānoskaidro, vai ir bezgalīgi daudz pirmskaitļu, kuri izsakāmi formā p = 2ⁿ − 1.
• Vai eksistē bezgalīgi daudz pirmskaitļu, kas izsakāmi formā P = n² + 1, kur n ir naturāls skaitlis?
• Jānoskaidro, vai eksistē bezgalīgi daudz tādu pirmskaitļu p, ka 2p + 1 arī ir pirmskaitlis.

[izmainīt šo sadaļu] Pirmskaitļi, kas nepārsniedz 1000

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.

[izmainīt šo sadaļu] Skatīt arī

• Pirmreizinātājs
• Dalītājs